Question

施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）．

（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）隧道下的公路是雙向等寬行車道(正中間是一條寬1米的隔離帶)，其中的一條行車道能否行駛寬2.5米、高5米的特種車輛？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；

（3）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”CDAB，使A、D點(diǎn)在拋物線上．B、C點(diǎn)在地面OM線上（如圖所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根鋼管AB、AD、DC的長(zhǎng)度之和的最大值是多少，請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=－x²+2x（0≤x≤12）；（2）不能；（3）15米

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P（6，6）為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)這條拋物線的函數(shù)解析式為y=a(x－6)²+6，在根據(jù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)即可求得結(jié)果；

（2）把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代入（1）中的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算，結(jié)果與5比較即可判斷.；

（3）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，－m²+2m），即可得到OB=m，AB=DC=－m²+2m，再根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱可得OB=CM=m，從而可以得到BC=12－2m，即AD=12－2m，即可得到L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

（1）∵M(jìn)（12，0），P（6，6）．

∴設(shè)這條拋物線的函數(shù)解析式為y=a(x－6)²+6，

∵把（0，0）代入解得a=－，    

∴這條拋物線的函數(shù)解析式為y=－(x－6)²+6，

即y=－x²+2x（0≤x≤12）；

（2）當(dāng)x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)時(shí)，y=4.5＜5  

∴不能行駛寬2.5米、高5米的特種車輛；

（3）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，－m²+2m），

∴OB=m，AB=DC=－m²+2m

根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱可得OB=CM=m，

∴BC=12－2m，即AD=12－2m

∴L=AB+AD+DC=－m²+2m+12=－(m－3)²+15

∴當(dāng)m=3，即OB=3米時(shí)，三根木桿長(zhǎng)度之和L的最大值為15米．

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是中考的熱點(diǎn)，尤其在壓軸題中極為常見(jiàn)，要特別注意.