精英家教網(wǎng)如圖,平行四邊形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),在直線AD上截取AF=2FD,連接EF,EF交AC于G.求AG:AC.
分析:本題分兩種情況討論:
(1)F在線段AD上,如圖1,根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得
AF
FD
=
AH
HC
=2,且 
AF
AD
=
FH
DC
=
2
3
,可得AH=2HC,F(xiàn)H=
2
3
CD,AE=
1
2
AB
=
1
2
CD
,則可得
AG
GH
=
AE
FH
,代入整理,可得
AG
GH
=
3
4
,GH=
4
3
AG
,所以可得AH=2HC,AG=
6
7
HC
,即可得出;
(2)F在AD的延長(zhǎng)線上,如圖2;在△AFH中,
AD
DF
=
AC
CH
=
1
1
AD
AF
=
CD
FH
=
1
2
,則AC=CH,F(xiàn)H=2CD,又由FH∥AB,可得
AG
GH
=
AE
FH
=
1
2
CD
2CD
=
1
4
,即GH=4AG,所以AH=AG+GH=5AG=2AC,即可得出.
解答:精英家教網(wǎng)解:有兩種情況:
第一種情況:F在線段AD上,如圖1,
過(guò)點(diǎn)F作FH∥DC,交AC于點(diǎn)H,
∵AF=2FD,
∴在△ADC中,
AF
FD
=
AH
HC
=2,且 
AF
AD
=
FH
DC
=
2
3
,
∴AH=2HC…①,FH=
2
3
CD
…②,
∵AE=
1
2
AB
=
1
2
CD
…③,
又∵平行四邊形ABCD,AB∥CD且AB=CD,
∴FH∥AB,
AG
GH
=
AE
FH
…④,
②③代入④得
AG
GH
=
3
4

GH=
4
3
AG
,
∴AH=AG+GH=
7
3
AG
=2HC,
AG=
6
7
HC
,
∵AC=AH+HC=3HC,
∴AG:AC=
2
7
;

第二種情況:F在AD的延長(zhǎng)線上,如圖(2),精英家教網(wǎng)
過(guò)點(diǎn)F作FH∥DC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,
∵AF=2FD
∴在△AFH中,
AD
DF
=
AC
CH
=
1
1
AD
AF
=
CD
FH
=
1
2
,
∴AC=CH,F(xiàn)H=2CD,
∵AE=
1
2
AB
=
1
2
CD

又∵FH∥AB,
AG
GH
=
AE
FH
=
1
2
CD
2CD
=
1
4
,
∴GH=4AG,
∴AH=AG+GH=5AG=2AC,
AG=
2
5
AC
,
∴AG:AC=
2
5
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了平分線分線段成比例定理和平行線四邊形的性質(zhì),考查了學(xué)生對(duì)平行線分線段成比例定理的理解和綜合應(yīng)用能力.
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如圖,平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,AD=6,若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二精英家教網(wǎng)次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根,且OA>OB.
(1)求
OA
AB
的值.
(2)若E為x軸上的點(diǎn),且S△AOE=
16
3
,求經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線的解析式,并判斷△AOE與△DAO是否相似?
(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),則在直線AB上是否存在點(diǎn)F,使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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5
,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后,分別交BC、AD于點(diǎn)E、F.
精英家教網(wǎng)
(1)試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,線段AF與EC總保持相等;
(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí),在圖2中畫出直線AC旋轉(zhuǎn)后的位置并證明此時(shí)四邊形ABEF是平行四邊形;
(3)在直線AC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果能,說(shuō)明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).(圖供畫圖或解釋時(shí)使用)
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