Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AC的垂直平分線(xiàn)EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O.

(1)如圖1，連接AF、CE，求證:四邊形AFCE為菱形；

(2)如圖2，若AB=4cm，AF=5cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：

①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值；

②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為(單位:cm，)，已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求與滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式。

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①;②a+b=12(ab≠0).

【解析】

(1)證明△AOE≌△COF，由全等推出OE=OF，得出平行四邊形AFCE，再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的平行四邊形是菱形即可得結(jié)論；

(2)①分情況討論可知，P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；

②由題意得，以A、C、P、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上，分三種情況，畫(huà)出圖形討論即可得.

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AE∥FC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF垂直平分AC，

∴AO=CO，FE⊥AC，

在△AOE和△COF中

，

∴△AOE≌△COF，

∴EO=FO，

∴四邊形AFCE為平行四邊形，

又∵FE⊥AC，

∴平行四邊形AFCE為菱形；

(2)①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；

同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形，

因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，

∴以A、C、P、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA,

∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴PC=5t,QA=12-4t, ∴5t=12-4t,解得：t=,

∴以A、C、P、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=；

②由題意得，以A、C、P、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上，

分三種情況：

(i)如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在AF上，Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；

(ii) 如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12；

(iii) 如圖3，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12；

綜上所述，a與b滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12(ab≠0).