Question

【題目】如圖，拋物線 與 軸交于 、 兩點(diǎn)（點(diǎn) 在點(diǎn) 的左側(cè)），點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，與 軸交于點(diǎn) ，作直線 ．動(dòng)點(diǎn) 在 軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) 作 軸，交拋物線于點(diǎn) ，交直線 于點(diǎn) ，設(shè)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ．
（Ⅰ）求拋物線的解析式和直線 的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn) 在線段 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段 的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)以 、 、 、 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】解：（I）∵拋物線過A、C兩點(diǎn)，

∴代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，

∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

設(shè)直線BC解析式為y=kx+s，

把B、C坐標(biāo)代入可得 ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（Ⅱ）∵PM⊥x軸，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，- m+3），

∵P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，

∴M點(diǎn)在N點(diǎn)上方，

∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)m= 時(shí)，MN有最大值，MN的最大值為 ；

（Ⅲ）∵PM⊥x軸，

∴MN∥OC，

當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，則有OC=MN，

當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，則有MN=﹣m2+3m，

∴﹣m2+3m=3，此方程無實(shí)數(shù)根，

當(dāng)點(diǎn)P不在線段OB上時(shí)，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，

∴m2﹣3m=3，解得m= 或m= ，

綜上可知當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，m的值為 或

【解析】（Ⅰ）利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式和直線BC解析式；
（Ⅱ）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，根據(jù)題意可用m表示出M、N的坐標(biāo)，從而得出MN與m的函數(shù)關(guān)系式，再化成頂點(diǎn)式可求其最值；
（Ⅲ）當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，則有OC=MN，且OC∥MN，可得MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，即m2﹣3m=3，從而求出m的值.