Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，將△BCD沿對角線BD折疊后，點C剛好落在AB邊上的點E處．
（1）試判斷四邊形BCDE的形狀，并說明理由；
（2）若AE=2，∠A=60°，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）由翻折變換的性質可得DC=DE，BC=BE，∠CBD=∠EBD，由平行線的性質，通過等量代換推出∠CBD=∠CDB，即可求出DC=DE=BC=BE，最后可確定四邊形BCDE是菱形；
（2）過點D作DF⊥AB于F，由四邊形ABCD是等腰梯形，AD=BC，AB∥CD，推出∠ABC和∠ADC的度數，由菱形的性質可推出∠EDC=∠ABC=60°，DC=DE=BC=BE=2，即得，∠ADE=∠ADC-∠EDC=120°-60°=60°，根據∠A=∠ADC=60°，可確定DE=AE=AD=2，即：△ADE是等邊三角形，AF=1，然后根據勾股定理推出DF的長度后，即可求出S_梯形ABCD．

解答：解：（1）四邊形BCDE是菱形．理由是：
∵△BCD沿對角線BD折疊后，點C剛好落在AB邊上的點E處，
∴△BCD與△BED重合，
∴DC=DE，BC=BE，∠CBD=∠EBD，
又∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠EBD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴DC=BC，
∴DC=DE=BC=BE，
∴四邊形BCDE是菱形，

（2）過點D作DF⊥AB于F，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD=BC，AB∥CD，
∴∠A=∠ABC=60°，∠A+∠ADC=180°，
∴∠ADC=120°，
又∵四邊形BCDE是菱形，
∴∠EDC=∠ABC=60°，DC=DE=BC=BE=2，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=120°-60°=60°，
∴∠A=∠ADE=60°，
∴DE=AE=AD=2  即：△ADE是等邊三角形，
又∵DF⊥AB  AE=2，
∴AF=1，
在RT△ADF中，
∵DF=

AD2-AF2

=

22-12

=

3

，
又∵DC=2，AB=4
∴S_梯形ABCD=

1

2

(DC+AB)×DF=

1

2

(2+4)×

3

=3

3

．

點評：本題主要考查翻折變換的性質，菱形的判定及性質，勾股定理的運用，等邊三角形的判定及性質，平行線的性質等知識點，（1）的解題關鍵在于推出∠CBD=∠CDB，確定DC=BC，（2）小題的解題關鍵在于正確的做出輔助線，根據（1）中所推出的結論，推出∠A=∠ADC=60°，確定△ADE是等邊三角形，運用勾股定理推出DF的長度．