如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)AB分別與x軸,y軸相交于A,B兩點(diǎn),OA,OB的長(zhǎng)分別是方程x2﹣14x+48=0的兩根,且OA<OB.

(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo).

(2)過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AC交y軸于點(diǎn)C,∠1是直線(xiàn)AC與x軸相交所成的銳角,sin∠1=,點(diǎn)D在線(xiàn)段CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且AD=AB,若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,求k的值.

(3)在(2)的條件下,點(diǎn)M在射線(xiàn)AD上,平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是鄰邊之比為1:2的矩形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

【答案】

(1)A(6,0),B(0,8)。

(2)k=84。

(3)存在。點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,11)或(16,20)。

【解析】

試題分析:(1)解一元二次方程,求得OA、OB的長(zhǎng)度,得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。

解:解方程x2﹣14x+48=0,得:x1=6,x2=8。

∵OA,OB的長(zhǎng)分別是方程x2﹣14x+48=0的兩根,且OA<OB,∴OA=6,OB=8。

∴A(6,0),B(0,8)。

(2)如答圖所示,作輔助線(xiàn),構(gòu)造全等三角形△AOB≌△DEA,求得點(diǎn)D的坐標(biāo);進(jìn)而由題意,求出k的值。

如答圖所示,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E.

在Rt△AOB中,OA=6,OB=8,

由勾股定理得:AB=10。

∵sin∠1=,∴∠OBA=∠1。

∵∠OBA+∠OAB=90°,∠1+∠ADE=90°,

∴∠OAB=∠ADE。

在△AOB與△DEA中,∵∠OBA=∠1,AB=AD,∠OAB=∠ADE,

∴△AOB≌△DEA(ASA)!郃E=OB=8,DE=OA=6。∴OE=OA+AE=6+8=14。

∴D(14,6)。

∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,∴k=14×6=84。

(3)如答圖所示,可能存在兩種情形:

如圖所示,若以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是鄰邊之比為1:2的矩形,

①當(dāng)AB:AM1=2:1時(shí),

過(guò)點(diǎn)M1作M1E⊥x軸于點(diǎn)E,

易證Rt△AEM1∽R(shí)t△BOA,

,即

∴AE=4,M1E=3。

過(guò)點(diǎn)N1作N1F⊥y軸于點(diǎn)F,易證Rt△N1FB≌Rt△AEM1

∴N1F=AE=4,BF=M1E=3,∴OF=OB+BF=8+3=11。

∴N1(4,11)。

②當(dāng)AB:AM2=1:2時(shí),同理可求得:N2(16,20)。

綜上所述,存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,11)或(16,20)。

 

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(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
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,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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