
解:(1)如圖所示:
(2)

與

是不相等.
理由如下:
∵P,A關(guān)于MN對稱,
∴MN垂直平分AP,
∴cos∠FAN=

,
∵∠D=90°,
∴cos∠PAD=

,
∵∠FAN=∠PAD,
∴

,
∵P不與D重合,P在邊DC上,
∴AD≠AP,
∴

≠

,
∴

≠

;
(3)∵AM是⊙O的切線,
∴∠AMP=90°,
∴∠CMP+∠AMB=90°,
∵∠BAM+∠AMB=90°,

∴∠CMP=∠BAM,
∵MN垂直平分AP,
∴MA=MP,
∵∠B=∠C=90°,
∴△ABM≌△MCP,
∴MC=AB=4,
設(shè)PD=x,則CP=4-x,
∴BM=PC=4-x,
連接HO并延長交BC于J,
∵AD是⊙O的切線,
∴∠JHD=90°,
∴HDCJ為矩形,
∴OJ∥CP,
∴△MOJ∽△MPC,
∴OJ:CP=MO:MP=1:2,
∴OJ=

(4-x),
OH=

MP=4-OJ=

(4+x),
∵MC
2=MP
2-CP
2,
∴(4+x)
2-(4-x)
2=16,
解得:x=1,即PD=1,PC=3,
∴點P在離點C3個單位處.
分析:(1)作出線段MP的垂直平分線和MP的交點即為所求的中的O;
(2)由折疊的性質(zhì)知:MN⊥AP,在Rt△AFN中,cos∠FAN=

,在Rt△ADP中,cos∠PAD=

,由∠FAN=∠PAD,可得:

,又P與D不重合,故

≠

,可得:

≠

不相等;
(3)作輔助線連接HO并延長交BC于J,根據(jù)折疊的性質(zhì)知:MN垂直平分AP,可得:AM=PM,AM為⊙O的切線,可得:∠AMP=∠CMP+∠AMB=90°,又∠BAM+∠AMB=90°,可得:∠CMP=∠BAM,∠B=∠C=90°,可證:△ABM≌△MCD,MC=AB,BM=CP,由AD為⊙O的切線,可得:OJ⊥AD,故:JH∥CP,△MOJ∽△MPC,設(shè)PD的長為x,則PC=AB-x,OJ=

PC,OH=AB-OJ可求出⊙O的半徑,又MC=AB,故在Rt△MCP中,運用勾股定理可將PD的長求出進而確定P點的位置.
點評:此題作為壓軸題,綜合考查了切線的性質(zhì),三角形相似的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識,綜合性很強,具有一定的難度.