Question

【題目】一次函數(shù)分別與軸、軸交于點(diǎn)、.頂點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為.當(dāng)為何值時(shí)，的值最大，并求的最大值；

（3）在（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)在軸上，為直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為；（3）、、或

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解；

（2）連接，可得點(diǎn)，根據(jù)一次函數(shù)得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式得出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的表達(dá)式即可求解；

（3）①當(dāng)為直角邊時(shí)，過點(diǎn)和點(diǎn)做垂線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)的垂線交軸于點(diǎn)，得出，再利用等腰直角三角形和坐標(biāo)即可求解；②當(dāng)為斜邊時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，以為圓心為直徑做圓于軸于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，先得出和的值，再求出的值即可求解.

解：（1）一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，則的坐標(biāo)為.

拋物線的頂點(diǎn)為，

設(shè)拋物線解析式為.

拋物線經(jīng)過點(diǎn)，

.

.

拋物線解析式為；

（2）解法一：連接.

點(diǎn)為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

.

一次函數(shù)與軸交于點(diǎn).則，

的坐標(biāo)為，

.

，

，

.

.

當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為；

解法二：作軸，交于點(diǎn).

的坐標(biāo)為，.

點(diǎn)為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

，.

.

.

當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為；

解法三：作軸，交于點(diǎn).

一次函數(shù)與軸交于點(diǎn).則，

點(diǎn)為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

.

把代入，解得，

.

.

當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為；

解法四：構(gòu)造矩形.（或構(gòu)造梯形）

一次函數(shù)與軸交于點(diǎn).則，

的坐標(biāo)為，.

點(diǎn)為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，

，，，，，.

.

當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為；

（3）由（2）易得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

①當(dāng)為直角邊時(shí)，過點(diǎn)和點(diǎn)做垂線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)的垂線交軸于點(diǎn)，如下圖所示：

由點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)可知：

∴

∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

由題可知：

∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②當(dāng)為斜邊時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，以為圓心為直徑做圓于軸于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，如下圖所示：

由點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)可得點(diǎn)的坐標(biāo)是

∴，

∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

根據(jù)圓周角定理即可知道

∴點(diǎn)和點(diǎn)符合要求

∴綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為、、或.