Question

已知，如圖，△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AC+AB=2BC，O是BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心、OB為半徑的圓與AC切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．
（1）求CD的長；（2）求CE的長；（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角三角形ABC中，設(shè)AB=x，由已知得AC=2BC-AB=8-x，根據(jù)勾股定理得x的方程，求出AB和AC，由切線的性質(zhì)得AD=AB，從而求出CD的長；
（2）連接BD、DE，由切線的性質(zhì)得∠CDE=∠CBD，∠C=∠C，所以得△CDE∽△CBD，從而求出CE的長；
（3）由（2）求得CE的長，可求得圓的直徑BE，則圖中陰影部分的面積=三角形ABC的面積-半圓的面積．
解答：解：（1）在直角三角形ABC中，設(shè)AB=x，由已知得AC=2BC-AB=8-x，根據(jù)勾股定理得：
x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
即AB=3，則AC=8-3=5，
∵以O(shè)為圓心、OB為半徑的圓與AC切于點(diǎn)D，
∵∠B=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB與圓O相切，
∴AD=AB=3，
所以CD=AC-AD=5-3=2；

（2）連接BD、DE，
∵以O(shè)為圓心、OB為半徑的圓與AC切于點(diǎn)D，
∴∠CDE=∠CBD，
又∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBD，
∴=，
∴CE===1；

（3）BE=BC-CE=4-1=3，
∴OB=，
∴圖中陰影部分的面積=三角形ABC的面積-半圓的面積
=AB•BC-π•（OB）²
=×3×4-×π×
=6-π．
點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理及相似三角形求出相應(yīng)的值解答此題．