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已知,如圖,△ABC中,∠B=90°,BC=4cm,AC+AB=2BC,O是BC上一點(diǎn),以O(shè)為圓心、OB為半徑的圓與AC切于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.
(1)求CD的長;(2)求CE的長;(3)求圖中陰影部分的面積.

【答案】分析:(1)在直角三角形ABC中,設(shè)AB=x,由已知得AC=2BC-AB=8-x,根據(jù)勾股定理得x的方程,求出AB和AC,由切線的性質(zhì)得AD=AB,從而求出CD的長;
(2)連接BD、DE,由切線的性質(zhì)得∠CDE=∠CBD,∠C=∠C,所以得△CDE∽△CBD,從而求出CE的長;
(3)由(2)求得CE的長,可求得圓的直徑BE,則圖中陰影部分的面積=三角形ABC的面積-半圓的面積.
解答:解:(1)在直角三角形ABC中,設(shè)AB=x,由已知得AC=2BC-AB=8-x,根據(jù)勾股定理得:
x2+42=(8-x)2,
解得:x=3,
即AB=3,則AC=8-3=5,
∵以O(shè)為圓心、OB為半徑的圓與AC切于點(diǎn)D,
∵∠B=90°,
∴OB⊥AB,
∴AB與圓O相切,
∴AD=AB=3,
所以CD=AC-AD=5-3=2;

(2)連接BD、DE,
∵以O(shè)為圓心、OB為半徑的圓與AC切于點(diǎn)D,
∴∠CDE=∠CBD,
又∠C=∠C,
∴△CDE∽△CBD,
=,
∴CE===1;

(3)BE=BC-CE=4-1=3,
∴OB=,
∴圖中陰影部分的面積=三角形ABC的面積-半圓的面積
=AB•BC-π•(OB)2
=×3×4-×π×
=6-π.
點(diǎn)評:此題考查的知識點(diǎn)是切線的性質(zhì),關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理及相似三角形求出相應(yīng)的值解答此題.
練習(xí)冊系列答案
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同步練習(xí)冊答案
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