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如圖,已知在△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,且∠BAD=∠CAE=90°,AM為△ABC中BC邊上的中線,連接DE.求證:DE=2AM.

證明:延長AM到F,使MF=AM,連接BF,CF(如圖)

∵BM=CM,AM=FM,
∴四邊形ABFC為平行四邊形.
∴FB=AC=AE,∠BAC+∠ABF=180°
又∵∠BAC+∠DAE=180°,
∴∠DAE=∠ABF,
又∵AD=AB,
∴△DAE≌△ABF(SAS),
∴DE=AF=2AM.
分析:延長AM到F,使MF=AM,連接BF,CF(如圖),根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,得到ABFC為平行四邊形,然后根據平行四邊形的性質得到FB=AC=AE,∠BAC+∠ABF=180°,再由已知的∠BAD=∠CAE=90°得到∠BAC+∠DAE=180°,從而得到∠DAE=∠ABF,再由已知的等腰直角三角形ABD得到AB=AD,利用SAS求證△DAE≌△ABF,最后根據全等三角形的對應邊相等即可得證.
點評:此題考查學生對等腰三角形的判定與性質,三角形內角和定理,全等三角形的判定與性質的理解和掌握,解答此題的關鍵是延長AM到F,使MF=AM,連接BF,求證兩次三角形全等,即可證明DE=2AM.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

23、如圖,已知在△ABC中,AD、AE分別是BC邊上的高和中線,AB=9cm,AC=7cm,BC=8m,求DE的長.

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如圖,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,CD是∠ACB的平分線.
(1)∠ADC=
60°
60°

(2)求證:BC=CD+AD.

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如圖,已知在△ABC中,∠B與∠C的平分線交于點P.當∠A=70°時,則∠BPC的度數為
125°
125°

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