Question

如圖，已知在△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠BAD=∠CAE=90°，AM為△ABC中BC邊上的中線，連接DE．求證：DE=2AM．

Answer 1

證明：延長AM到F，使MF=AM，連接BF，CF（如圖）

∵BM=CM，AM=FM，
∴四邊形ABFC為平行四邊形．
∴FB=AC=AE，∠BAC+∠ABF=180°
又∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠DAE=∠ABF，
又∵AD=AB，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE=AF=2AM．
分析：延長AM到F，使MF=AM，連接BF，CF（如圖），根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，得到ABFC為平行四邊形，然后根據平行四邊形的性質得到FB=AC=AE，∠BAC+∠ABF=180°，再由已知的∠BAD=∠CAE=90°得到∠BAC+∠DAE=180°，從而得到∠DAE=∠ABF，再由已知的等腰直角三角形ABD得到AB=AD，利用SAS求證△DAE≌△ABF，最后根據全等三角形的對應邊相等即可得證．
點評：此題考查學生對等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理，全等三角形的判定與性質的理解和掌握，解答此題的關鍵是延長AM到F，使MF=AM，連接BF，求證兩次三角形全等，即可證明DE=2AM．