Question

【題目】我們定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如圖1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，試判斷△ABC是否是”等高底”三角形，請(qǐng)說明理由．

（2）問題探究：

如圖2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱圖形得到△A'BC，連結(jié)AA′交直線BC于點(diǎn)D．若點(diǎn)B是△AA′C的重心，求的值．

（3）應(yīng)用拓展：

如圖3，已知l1∥l2，l1與l2之間的距離為2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上，點(diǎn)A在直線l2上，有一邊的長是BC的倍．將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C，A′C所在直線交l2于點(diǎn)D．求CD的值．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是“等高底”三角形；（2）；（3）CD的值為，2，2．

【解析】

（1）過A作AD⊥BC于D，則△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得：根據(jù)“等高底”三角形的概念即可判斷.

（2）點(diǎn)B是的重心，得到設(shè) 則

根據(jù)勾股定理可得即可求出它們的比值.

（3）分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)時(shí)和②當(dāng)時(shí).

（1）△ABC是“等高底”三角形；

理由：如圖1，過A作AD⊥BC于D，則△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，

∵∠ACB=30°，AC=6，

∴

∴AD=BC=3，

即△ABC是“等高底”三角形；

（2）如圖2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，

∴

∵△ABC關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱圖形是 ，

∴∠ADC=90°，

∵點(diǎn)B是的重心，

∴

設(shè) 則

由勾股定理得

∴

（3）①當(dāng)時(shí)，

Ⅰ．如圖3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

∵“等高底”△ABC的“等底”為BC，l1∥l2，l1與l2之間的距離為2，.

∴

∴BE=2，即EC=4，

∴

∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C，

∴∠DCF=45°，

設(shè)

∵l1∥l2，

∴

∴ 即

∴

∴

Ⅱ．如圖4，此時(shí)△ABC等腰直角三角形，

∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到，

∴是等腰直角三角形，

∴

②當(dāng)時(shí)，

Ⅰ．如圖5，此時(shí)△ABC是等腰直角三角形，

∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C，

∴

∴

Ⅱ．如圖6，作于E，則

∴

∴

∴△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到時(shí)，點(diǎn)A'在直線l1上，

∴∥l2，即直線與l2無交點(diǎn)，

綜上所述，CD的值為