Question

（2010•蕪湖）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形ABCO，其頂點(diǎn)為A（0，1）、B（-3，1）、C（-3，0）、O（0，0）．將此矩形沿著過(guò)E（-，1）、F（-，0）的直線(xiàn)EF向右下方翻折，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′．
（1）求折痕所在直線(xiàn)EF的解析式；
（2）一拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)B、E、B′三點(diǎn)，求此二次函數(shù)解析式；
（3）能否在直線(xiàn)EF上求一點(diǎn)P，使得△PBC周長(zhǎng)最小？如能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)E、F的坐標(biāo)，設(shè)出直線(xiàn)式EF的解析式為y=kx+b，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出k和b即可；
（2）過(guò)B′作B′A′⊥BA于A(yíng)′，在Rt△B′EA′中，通過(guò)解直角三角形可求出A′E、A′B′的長(zhǎng)，通過(guò)證A′E=AE，得出B′在y軸上的結(jié)論，從而得出B′坐標(biāo)，進(jìn)而用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；
（3）連接B′C，由于B、B′關(guān)于EF所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則B′C與折痕的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，可求出直線(xiàn)B′C的解析式，聯(lián)立折痕EF的解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）由于折痕所在直線(xiàn)EF過(guò)E（-，1）、F（-，0），則有：
∴設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為y=kx+b，
∴；
解得k=，b=4，
所以直線(xiàn)EF的解析式為：y=x+4．

（2）設(shè)矩形沿直線(xiàn)EF向右下方翻折后，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′（x₁，y₁），C′（x₂，y₂）；
過(guò)B′作B′A′⊥AE交AE所在直線(xiàn)于A(yíng)′點(diǎn)；
∵B′E=BE=2，∠B′EF=∠BEF=60°，
∴∠B′EA′=60°，
∴A′E=，B′A′=3；
∴A與A′重合，B′在y軸上；
∴x₁=0，y₁=-2，
即B′（0，-2）；【此時(shí)需說(shuō)明B′（x₁，y₁）在y軸上】．
設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c，拋物線(xiàn)過(guò)B（-3，1）、E（-，1）、B′（0，-2）；
得到，
解得
∴該二次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x²-x-2；

（3）能，可以在直線(xiàn)EF上找到P點(diǎn)；
連接B′C交EF于P點(diǎn)，再連接BP；
由于B′P=BP，此時(shí)點(diǎn)P與C、B′在一條直線(xiàn)上，故BP+PC=B′P+PC的和最小；
由于BC為定長(zhǎng)，所以滿(mǎn)足△PBC周長(zhǎng)最�。�
設(shè)直線(xiàn)B′C的解析式為：y=kx+b，則有：
，
解得；
∴直線(xiàn)B′C的解析式為：y=-x-2；
又∵P為直線(xiàn)B′C和直線(xiàn)EF的交點(diǎn)，
∴，
解得；
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，-）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)，難度偏大．