Question

如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點，點E為⊙O上一動點，CF⊥AE于點F．當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：連接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂徑定理得到G為AB的中點，由中點的定義確定出OG的長，在直角三角形AOG中，由AO與OG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而確定出AB的長，由CO+GO求出CG的長，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的長，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當E位于點B時，CG⊥AE，此時F與G重合；當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，可得出當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長，在直角三角形ACG中，利用銳角三角函數(shù)定義求出∠ACG的度數(shù)，進而確定出所對圓心角的度數(shù)，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出的長，即可求出點F所經(jīng)過的路徑長．
解答：解：連接AC，AO，
∵AB⊥CD，
∴G為AB的中點，即AG=BG=AB，
∵⊙O的半徑為4，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點，
∴OG=2，
∴在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：AG==2，
∴AB=2AG=4，
又∵CG=CO+GO=4+2=6，
∴在Rt△AGC中，根據(jù)勾股定理得：AC==4，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始終是直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半圓，
當E位于點B時，CG⊥AE，此時F與G重合；當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，
∴當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長，
在Rt△ACG中，tan∠ACG==，
∴∠ACG=30°，
∴所對圓心角的度數(shù)為60°，
∵直徑AC=4，
∴的長為=π，
則當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長為π．
故選C．
點評：此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據(jù)題意得到點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長，是解本題的關鍵．