Question

【題目】如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，

（1）求證：△ABQ ≌ △CAP；

（2）∠CMQ的大小變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

（3）連接PQ,當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠CMQ的大小不變且為60度；（3）t=2.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理證明；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAQ＝∠ACP，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)解答；

（3）分三種情況分別討論即可求解.

（1）根據(jù)路程=速度×時(shí)間可得：AP=BQ

∵△ABC是等邊三角形

∴∠PAC=∠B=60°，AB=AC

∴△ABQ≌△CAP（SAS）

（2）∵ △ABQ≌△CAP

∴∠BAQ=∠ACP

∴∠CMQ=∠ACM+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=60°

因此，∠CMQ的大小不變且為60度

（3）當(dāng)AP=AQ時(shí)，僅當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)成立，故不符合題意；

當(dāng)PQ=AQ時(shí)，僅當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)成立，故不符合題意；

當(dāng)AP=PQ時(shí)，如圖，當(dāng)AQ⊥BC時(shí)，AP=BP=PQ,故t=2÷1=2時(shí)，△APQ為等腰三角形；

綜上，當(dāng)t=2時(shí)，△APQ為等腰三角形，此時(shí)AP=PQ.