Question

如圖，E為正方形的CD邊上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)A作AF∥BE，交CD的延長線于點(diǎn)F，  的平分線分別交AF、AD于點(diǎn)G、H．

（1）若，，求的長度；

（2）證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）—1   （2）通過證明∠M=∠MBE得 BE=EM=AH+DF從而BE=AH+DF  

【解析】

試題分析：（1）∵ABCD是正方形

∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°

∵∠CBE=30°且BG平分∠ABE,

∴∠ABG=∠GBE=30°

∴∠AGB=∠GBE

∴∠ABG=∠AGB

∴AB=AG=      

又∵在Rt△ABE中，∠ABG=30°

∴AH=AB=1     

又∵ABCD是正方形

∴AD=AB

∴DH=—1     

（2）證明：將△ABH繞著點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°

∵ABCD是正方形

∴AD=BC,∠ADC=∠C=90°

∴∠ADF=∠C

∵AF∥BE

∴∠F=∠BEC

∴△ADF≌△BCE

∴DF=CE           

又由旋轉(zhuǎn)可知：AH=CM,∠AHB=∠M,∠BAH=∠BCM=90°

∵∠BCD=90°

∴∠BCD+∠BCM=180°

∴點(diǎn)E、C、M在同一直線。 

∴AH+DF="EC+CM=EM"

又∵BG平分∠ABE,

∴∠ABG=∠GBE

又∵∠ABH=∠CBM

∴∠GBE=∠CBM

∴∠GBE+∠CBE=∠CBM+∠CBE

即 ∠GBC=∠MBE 

又∵正方形ABCD中，AD∥BC

∴∠AHB=∠GBC

∴∠GBC=∠M

∴∠M=∠MBE     

∴BE=EM=AH+DF

∴BE=AH+DF       

考點(diǎn)：正方形、角平分線，旋轉(zhuǎn)

點(diǎn)評：本題考查正方形、角平分線，旋轉(zhuǎn)，考生對正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的特征的熟悉是解本題的關(guān)鍵，要求學(xué)生對相應(yīng)的知識掌握