Question

19．兩個完全重合的直角三角形Rt△ABC與Rt△DEF兩直角邊分別為3cm、4cm，點D放置在AB的中點，△DEF可以繞點D轉(zhuǎn)動，當Rt△DEF旋轉(zhuǎn)到一邊與AB垂直時，兩三角形重疊部分面積為$\frac{75}{64}$、$\frac{69}{32}$、$\frac{25}{12}$．

Answer 1

分析 分三種情況討論：①如圖1，當DF⊥AB時，重疊部分面積為梯形面積，求出MC、DH和CH代入面積公式計算即可；
②如圖2，當DE⊥AB時，重疊部分面積為△DMN的面積，求出MN和DG的長；
③如圖3，當EF⊥AB時，重疊部分面積為△ADH的面積，求出AD和GH的長．

解答 解：分三種情況：①如圖1，當DF⊥AB時，則DE⊥AC
∴DE∥CB
則DE=$\frac{1}{2}$BC=2，CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$
∵∠B=∠B，∠BDM=∠BCA=90°
∴△BDM∽△BCA
∴$\frac{BM}{AB}$=$\frac{BD}{BC}$
∴$\frac{BM}{5}$=$\frac{2.5}{4}$
∴BM=$\frac{25}{8}$
∴CM=BC-BM=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$
∴S_重疊部分=S_梯形CHDM=$\frac{1}{2}$×（$\frac{7}{8}$+2）×$\frac{3}{2}$=$\frac{69}{32}$
②如圖2，當DE⊥AB時，則EF∥AB，
∴∠F=∠FDB，
過D作DG⊥BC，垂足為G，則AC∥DG，
∵D是BC的中點，
∴G是BC的中點，
∴DG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，BG=CG=2，
∵∠F=∠B=∠FDB，
∴BN=ND，
設DN=x，則BN=DN=x，
∴（2-x）²+$（\frac{3}{2}）^{2}$=x²，
x=$\frac{25}{16}$，
∴BN=$\frac{25}{16}$，
由①得BM=$\frac{25}{8}$，
∴MN=BM-BN=$\frac{25}{8}$-$\frac{25}{16}$=$\frac{25}{16}$，
∴S_重疊部分=S_△DMN=$\frac{1}{2}$×MN×DG=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{16}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{75}{64}$；
③如圖3，當EF⊥AB時，
過H作HG⊥AB，則HG∥EF，
∵△ABC≌△DFE，
∴∠FDE=∠CAB，
∴AH=DH，
∴DG=AG=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{5}{4}$，
又∵$\frac{DG}{DE}=\frac{GH}{EF}$，
∴$\frac{\frac{5}{4}}{3}$=$\frac{GH}{4}$，GH=$\frac{5}{3}$，
∴S_重疊部分=S_△ADH=$\frac{1}{2}$×AD×GH=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{5}{3}$=$\frac{25}{12}$；
綜上所述：重疊部分的面積為：$\frac{27}{16}$、$\frac{69}{32}$、$\frac{25}{12}$；
故答案為：$\frac{75}{64}$、$\frac{69}{32}$、$\frac{25}{12}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確畫出圖形是本題的關鍵；同時運用了分類討論的思想，確定重疊部分的圖形后再利用勾股定理和相似三角形對應邊的比求解．