Question

已知△ABC中，∠BAC=60゜，D是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E、F．
（1）如圖1，若AD=4，求EF的長；
（2）如圖2，若∠ABC=45゜，AB=2

2

，求EF的最小值．

Answer 1

分析：（1）作直徑EP，連結(jié)PF，根據(jù)圓周角定理得∠EFP=90°，由于∠P=∠EAF=60°，則∠PEF=30°，所以PF=

1

2

PE，EF=

3

PF=

3

2

EP，然后把EP=AD=4代入計(jì)算即可；
（2）由（1）得EF=

3

2

EP=

3

2

AD，則當(dāng)AD最小時(shí)，EF最小，而AD⊥BC時(shí)，AD最小，如圖2，由于∠ABC=45゜，AB=2

2

可得到AD=2，所以EF=

3

2

×2=

3

．

解答：解：（1）作直徑EP，連結(jié)PF，如圖1，
∵EP為⊙O的直徑，
∴∠EFP=90°，
∵∠P=∠EAF=60°，
∴∠PEF=30°，
∴PF=

1

2

PE，
EF=

3

PF=

3

2

EP，
∵EP=AD=4，
∴EF=

3

2

×4=2

3

；

（2）∵EF=

3

2

EP=

3

2

AD，
∴當(dāng)AD最小時(shí)，EF最小，
當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，如圖2，
∵∠ABC=45゜，AB=2

2

，
∴AD=

2

2

AB=2，
∴EF=

3

2

×2=

3

，
即EF的最小值為

3

．

點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了圓周角定理和解直角三角形．