Question

如圖,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于點(diǎn)G,現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB,將△AFG沿AF折疊得到△AFD,延長BE和DF相交于點(diǎn)C．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的長．

Answer 1

答案：(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,    ……2分

由AB=AD，得四邊形ABCD是正方形.         ……3分

(2)MN²=ND²+DH².                              ……4分

理由：連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，

∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,          ……6分

再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，                 ……7分  

∴MN²=ND²+DH².                            ……8分

(3)設(shè)AG=x，則EC=x-4,CF=x-6,

由Rt△ECF，得(x-4)²+(x-6)²=100,x₁=12,x₂=-2(舍去)  ∴AG=12.……10分

由AG=AB=AD=12,得BD=12,∴MD=9,

設(shè)NH=y,由Rt△NHD,得y²=(9-y)²+(3)²,y=5,即MN=5. ……12分