Question

【題目】已知：如圖，⊙O和⊙O相交于A、B兩點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)P在⊙O上，且在⊙ 外，直線PA、PB分別交⊙O于C、D.問：⊙O的弦CD的長(zhǎng)是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)你確定CD最長(zhǎng)和最短時(shí)P的位置，如果不發(fā)生變化，請(qǐng)你給出證明；

Answer 1

【答案】CD的長(zhǎng)與點(diǎn)P的位置無關(guān).

【解析】試題分析：連接AD、AB，∠ADP在⊙O1中所對(duì)的弦為AB，所以∠ADP為定值，∠P在⊙O2中所對(duì)的弦為AB，所以∠P為定值．再利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系求出∠CAD為定值，則弦CD為定值，與P的位置無關(guān)．

試題解析：

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的長(zhǎng)保持不變，A、B是⊙O1與⊙O2的交點(diǎn)，弦AB與點(diǎn)P的位置關(guān)系無關(guān)，
證明：

連接AD，如圖所示：

∵∠ADP在⊙O1中所對(duì)的弦為AB，
∴∠ADP為定值，
∵∠P在⊙O2中所對(duì)的弦為AB，
∴∠P為定值，
∵∠CAD=∠ADP+∠P，
∴∠CAD為定值，
∵在⊙O1中∠CAD對(duì)弦CD，
∴CD的長(zhǎng)與點(diǎn)P的位置無關(guān)．