Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，對角線交于點O，CF垂直AB交AB的延長線于點F，過點B作BE∥AC交FC于EF．

（1）求BE的長：

（2）如圖2，在OB上有一動點P，將△AOB繞A點順時針旋轉90°至△AOB'，P點的對應點為P′，現有一動點Q從P點出發(fā)，沿著適當路徑先運動到O′點，再沿O′A運動至A點，再從A點沿適當的路徑運動至P′點．求Q點的最短運動路徑的長；

（3）若△ABO以每秒2個單位長度的速度沿射線AB向右平移，得到三角形△A1B1O1，當A1與點F重合時停止移動，設運動時間為t，在這個過程中，點O1關于直線BC的對稱點為O″，當O″，F，C三點構成的三角形為等腰三角形時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）1212；（3）t＝2或2或6s

【解析】

（1）根據菱形的性質和已知邊、已知角，可證得△BCF、△BEF均是一角為30°的直角三角形，繼而可求BE的長；

（2）根據菱形的性質，連接CO′交BD于Q，連接AQ，可得Q點的最短路徑＝QO′+O′A +AP′＝CQ+QO′+AO＝CO′+AO′，再根據勾股定理即可求解；

（3）①當點B1與F重合時，如圖3所示，點O1在BC的中點，△O″FC為等腰三角形，可得t2s；②如圖4所示，當FC＝FO″時，△O″FC為等腰三角形，易證四邊形HO1B1F是平行四邊形，t2s；③如圖5所示，當點A1與F重合時， CF＝CO″，△O″FC為等腰三角形，t＝6s．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，

∴AB＝BC＝8，∠BAC＝∠BCA＝30°，

∵BC∥AD，BE∥AC，

∴∠CBF＝∠DAB＝60°，∠BCA＝∠CBE＝30°，

∵CF⊥BF，

∴∠F＝90°，

∴∠BCE＝∠EBC＝30°，

∴BE＝EC，

在Rt△BCF中，BFBC＝4，

在Rt△BEF中，cos30°，

∴BE＝＝8．

（2）如圖2中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC，

∴A、C關于BD對稱，

連接CO′交BD于Q，連接AQ，此時Q點的運動路徑最短，

最短路徑＝QO′+O′A+AP′＝CQ+QO′+AO＝CO′+AO′12＝1212．

（3）①如圖3中，當點B1與F重合時，點O1在BC的中點，易知AA1AB＝4，

∴t2s．

②如圖4中，當FC＝FO″時，設FO″交BC于H，易證四邊形HO1B1F是平行四邊形，

FHBC＝4，HO″＝HO1＝B1F＝12﹣4，

∴AA1＝12，t2s．

③如圖5，當點A1與F重合時，CF＝CO″，此時AA1＝12，t＝6s．

綜上所述，當t＝2或2或6s時，△CFO″是等腰三角形．