Question

如果多項式P=2a²-8ab+17b²-16a+4b+1999，那么P的最小值是多小？

Answer 1

解：P=2a²-8ab+17b²-16a+4b+1999，
=（a²-16a+64）+（b²+4b+4）+（a²-8ab+16b²）+1931，
=（a-8）²+（b+2）²+（a-4b）²+1931，
∵（a-8）²和（b+2）²和（a-4b）²均為非負數，
當a-8=0 b+2=0時，P=256+1931=2187
b+2=0 a-4b=0時，P=256+1931=2187
a-4b=0 a-8=0時，P=16+1931=1947
∴P的最小值是1947．
分析：有a的一次項，b的一次項，ab的項，把所給代數式整理為3個完全平方式與一個常數的和的形式，最小值為那個常數．
點評：本題考查了配方法的應用；把所給代數式整理為3個完全平方式和一個常數的和的形式是解決本題的關鍵．