Question

如圖所示，已知四邊形OABC是菱形，∠O=60°，點(diǎn)M是邊OA的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作⊙O分別交OA，OC于點(diǎn)D，E，連接BM．若BM=，的長(zhǎng)是．求證：直線BC與⊙O相切．

 

 

Answer 1

【答案】

證明見解析

【解析】

試題分析：過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，過點(diǎn)B作BG⊥OA于G，則四邊形BGOF為矩形，OF=BG。設(shè)菱形OABC的邊長(zhǎng)為2a，先在Rt△BMG中，利用勾股定理得出BG²+GM²=BM²，即（a）²+（2a）²=（）²，求得a=1，得到OF=，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出r=，則圓心O到直線BC的距離等于圓的半徑r，從而判定直線BC與⊙O相切。　

證明：如圖，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，過點(diǎn)B作BG⊥OA于G，則四邊形BGOF為矩形，OF=BG.

設(shè)菱形OABC的邊長(zhǎng)為2a，則AM=OA=a．

∵菱形OABC中，AB∥OC，∠COA =60°，

∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°﹣60°=30°。

∴AG=AB=a，BG=AG=a。

在Rt△BMG中，

∵∠BGM=90°，BG=aGM=a+a=2a，BM=，

∴BG²+GM²=BM²，即（a）²+（2a）²=（）²，解得a=1。∴OF=BG=。

又∵的長(zhǎng)=，∴r=。

∴OF=r=，即圓心O到直線BC的距離等于圓的半徑r。

∴直線BC與⊙O相切。