Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（5，0），（0，2）．若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，連接PC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=PC，將線段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PF，連接FB．若點(diǎn)P在移動(dòng)的過(guò)程中，使△PBF成為直角三角形，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是

（5，2），（

5 +7

2

，

5

-1）

．

Answer 1

分析：當(dāng)P位于線段OA上時(shí)，顯然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角頂點(diǎn)，可分兩種情況進(jìn)行討論：
①F為直角頂點(diǎn)，過(guò)F作FD⊥x軸于D，BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t²-2t+5，那么PF²=（2CP）²=4（t²-2t+5）；在Rt△PFB中，F(xiàn)D⊥PB，由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²-2t+5，而PB的另一個(gè)表達(dá)式為：PB=6-t，聯(lián)立兩式可得t²-2t+5=6-t，即t=

5 +1

2

；
②B為直角頂點(diǎn)，那么此時(shí)的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此時(shí)t=2．

解答：解：能；
①若F為直角頂點(diǎn)，過(guò)F作FD⊥x軸于D，則BP=6-t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t-1，
由勾股定理易求得CP²=t²-2t+5，那
么PF²=（2CP）²=4（t²-2t+5）；
在Rt△PFB中，F(xiàn)D⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²-2t+5，
而PB的另一個(gè)表達(dá)式為：PB=6-t，
聯(lián)立兩式可得t²-2t+5=6-t，即t=

5 +1

2

，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5 -1

2

，0），
則F點(diǎn)坐標(biāo)為：（

5 +7

2

，

5

-1）；

②B為直角頂點(diǎn)，那么此時(shí)的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此時(shí)t=2，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．FD=2（t-1）=2，
則F點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2）．
故答案是：（5，2），（

5 +7

2

，

5

-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)；在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．