Question

如圖1，△ABC中，CA=CB，點(diǎn)O在高CH上，OD⊥CA于點(diǎn)D，OE⊥CB于點(diǎn)E，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O．

（1）求證：⊙O與CB相切于點(diǎn)E；

（2）如圖2，若⊙O過點(diǎn)H，且AC=5，AB=6，連接EH，求△BHE的面積和tan∠BHE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：

切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．

專題：

計(jì)算題．

分析：

（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三線合一得到CH為角平分線，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分線定理得到OE=OD，利用切線的判定方法即可得證；

（2）由CA=CB，CH為高，利用三線合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的長(zhǎng)，由圓O過H，CH垂直于AB，得到圓O與AB相切，由（1）得到圓O與CB相切，利用切線長(zhǎng)定理得到BE=BH，如圖所示，過E作EF垂直于AB，得到EF與CH平行，得出△BEF與△BCH相似，由相似得比例，求出EF的長(zhǎng)，由BH與EF的長(zhǎng)，利用三角形面積公式即可求出△BEH的面積；根據(jù)EF與BE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出FB的長(zhǎng)，由BH﹣BF求出HF的長(zhǎng)，利用銳角三角形函數(shù)定義即可求出tan∠BHE的值．

解答：

（1）證明：∵CA=CB，點(diǎn)O在高CH上，

∴∠ACH=∠BCH，

∵OD⊥CA，OE⊥CB，

∴OE=OD，

∴圓O與CB相切于點(diǎn)E；

（2）解：∵CA=CB，CH是高，

∴AH=BH=AB=3，

∴CH==4，

∵點(diǎn)O在高CH上，圓O過點(diǎn)H，

∴圓O與AB相切于H點(diǎn)，

由（1）得圓O與CB相切于點(diǎn)E，

∴BE=BH=3，

如圖，過E作EF⊥AB，則EF∥CH，

∴△BEF∽△BCH，

∴=，即=，

解得：EF=，

∴S_△BHE=BH•EF=×3×=，

在Rt△BEF中，BF==，

∴HF=BH﹣BF=3﹣=，

則tan∠BHE==2．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．