【題目】(感知)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,將線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段,過點軸,垂足為點,易知,得到點的坐標(biāo)為

(探究)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,將線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段

(1)求點的坐標(biāo).(用含的代數(shù)式表示)

2)求出BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式.

(拓展)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,點軸上,將線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段,連結(jié),則的最小值為_______.

【答案】【探究】(1)點坐標(biāo)為;(2;【拓展】

【解析】

探究:1)證明△AOC≌△CMBAAS),即可求解;
2)根據(jù)點B的坐標(biāo)為(mm+1),點坐標(biāo),即可求解;
拓展:BO+BA=,BO+BA的值,相當(dāng)于求點Pm,m)到點M1,-1)和點N0-1)的最小值,即可求解.

解:探究:(1)過點軸,垂足為點

,

線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段,

,

坐標(biāo),點坐標(biāo),

坐標(biāo)為

2)∵點B的坐標(biāo)為(m,m+1),點C為(0m),

設(shè)直線BC為:y=kx+b,

,解得:,

;

BC所在的直線為:;

拓展:如圖作BHOHH

設(shè)點C的坐標(biāo)為(0,m),
由(1)知:OC=HB=mOA=HC=1,
則點Bm,1+m),
則:BO+BA=,
BO+BA的值,相當(dāng)于求點Pm,m)到點M1-1)和點N0,-1)的最小值,
相當(dāng)于在直線y=x上尋找一點Pm,m),使得點PM0,-1),到N1,-1)的距離和最小,

M關(guān)于直線y=x的對稱點M′(-1,0),
易知PM+PN=PM+PNNM′,
MN=,
故:BO+BA的最小值為,

故答案為:

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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點PAB的延長線上,點C在⊙O上,且PC2PBPA

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(1)求證:;

(2)求四邊形與△ABC重疊部分的面積之間的函數(shù)關(guān)系式及的最小值;

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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,CB=2,點E為線段AB上的動點,將CBE沿CE折疊,使點B落在矩形內(nèi)點F處,下列結(jié)論正確的是_____(寫出所有正確結(jié)論的序號)

①當(dāng)E為線段AB中點時,AFCE;

②當(dāng)E為線段AB中點時,AF=;

③當(dāng)A、F、C三點共線時,AE=;

④當(dāng)A、F、C三點共線時,CEF≌△AEF.

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【題目】在四邊形 ABCD中,ABAD,∠BAD60°,邊BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到BE,邊DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到DF,四邊形ABEG和四邊形ADFH為平行四邊形.

1)如圖1,若BCCD,∠BCD120°,則∠GCH_______°;

2)如圖2,若BC≠CD,探究∠GCH的大小是否發(fā)生變化,并證明你的結(jié)論;

3)如圖3,若∠BCD=∠ADC90°,AB請直接寫出△AGH的周長.

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【題目】閱讀下列材料,并完成相應(yīng)任務(wù):

黃金分割

天文學(xué)家開普勒把黃金分割稱為神圣分割,并指出畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)和黃金分割是幾何中的雙寶,前者好比黃金,后者堪稱珠寶,歷史上最早正式在書中使用“黃金分割”這個名稱的是歐姆,19世紀(jì)以后“黃金分割”的說法逐漸流行起來,黃金分割被廣泛應(yīng)用于建筑等領(lǐng)域.黃金分割指把一條線段分為兩部分,使其中較長部分與線段總長之比等于較短部分與較長部分之比,該比值為.用下面的方法(如圖①)就可以作出已知線段的黃金分割點

①以線段為邊作正方形,

②取的中點,連接,

③延長,使,

④以線段為邊作正方形,點就是線段的黃金分割點.

以下是證明點就是線段的黃金分割點的部分過程:

證明:設(shè)正方形的邊長為1,則,

中點,

,

中,,

,

,

,

任務(wù):

1)補全題中的證明過程;

2)如圖②,點為線段的黃金分割點,分別以為邊在線段同側(cè)作正方形和矩形,連接.求證:;

3)如圖③,在正五邊形中,對角線分別交于點求證:點的黃金分割點.

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