【題目】(感知)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,將線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段,過點作軸,垂足為點,易知,得到點的坐標(biāo)為.
(探究)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,將線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段.
(1)求點的坐標(biāo).(用含的代數(shù)式表示)
(2)求出BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式.
(拓展)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,點在軸上,將線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段,連結(jié)、,則的最小值為_______.
【答案】【探究】(1)點坐標(biāo)為;(2);【拓展】.
【解析】
探究:(1)證明△AOC≌△CMB(AAS),即可求解;
(2)根據(jù)點B的坐標(biāo)為(m,m+1),點坐標(biāo),即可求解;
拓展:BO+BA=,BO+BA的值,相當(dāng)于求點P(m,m)到點M(1,-1)和點N(0,-1)的最小值,即可求解.
解:探究:(1)過點作軸,垂足為點.
,
.
線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段,
.
.
.
,
,
.
點坐標(biāo),點坐標(biāo),
點坐標(biāo)為
(2)∵點B的坐標(biāo)為(m,m+1),點C為(0,m),
設(shè)直線BC為:y=kx+b,
,解得:,
∴;
則BC所在的直線為:;
拓展:如圖作BH⊥OH于H.
設(shè)點C的坐標(biāo)為(0,m),
由(1)知:OC=HB=m,OA=HC=1,
則點B(m,1+m),
則:BO+BA=,
BO+BA的值,相當(dāng)于求點P(m,m)到點M(1,-1)和點N(0,-1)的最小值,
相當(dāng)于在直線y=x上尋找一點P(m,m),使得點P到M(0,-1),到N(1,-1)的距離和最小,
作M關(guān)于直線y=x的對稱點M′(-1,0),
易知PM+PN=PM′+PN≥NM′,
M′N=,
故:BO+BA的最小值為,
故答案為:.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點P在AB的延長線上,點C在⊙O上,且PC2=PBPA.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)已知PC=20,PB=10,點D是的中點,DE⊥AC,垂足為E,DE交AB于點F,求EF的長.
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【題目】如圖①,等邊三角形的邊長為2,是邊上的任一點(與不重合),設(shè),連接,以為邊向兩側(cè)作等邊三角形和等邊三角形,分別與邊交于點.
(1)求證:;
(2)求四邊形與△ABC重疊部分的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式及的最小值;
(3)如圖②,連接,分別與邊交于點.當(dāng)為何值時,.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過點作直線的垂線,垂足為點,過點作軸,垂足為點,過點作,垂足為點…,這樣依次下去,得到一組線段…,則線段的長為__________.
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【題目】如圖,拋物線經(jīng)過點,,直線:交軸于點,且與拋物線交于,兩點,為拋物線上一動點(不與,重合).
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點在直線下方時,過點作軸交于點,軸交于點,求的最大值.
(3)設(shè)為直線上的點,以,,,為頂點的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形?若能,求出點的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
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【題目】在四邊形ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,AB=2,CD=3,在BC上取點P(P與B、C不重合)連接PA延長至E,使PA=2AE,連接PD并延長至F,使PD=3FD,以PE、PF為邊作平行四邊形,另一個頂點為G,則PG長度的最小值為_____.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,CB=2,點E為線段AB上的動點,將△CBE沿CE折疊,使點B落在矩形內(nèi)點F處,下列結(jié)論正確的是_____(寫出所有正確結(jié)論的序號)
①當(dāng)E為線段AB中點時,AF∥CE;
②當(dāng)E為線段AB中點時,AF=;
③當(dāng)A、F、C三點共線時,AE=;
④當(dāng)A、F、C三點共線時,△CEF≌△AEF.
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【題目】在四邊形 ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,邊BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到BE,邊DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到DF,四邊形ABEG和四邊形ADFH為平行四邊形.
(1)如圖1,若BC=CD,∠BCD=120°,則∠GCH=_______°;
(2)如圖2,若BC≠CD,探究∠GCH的大小是否發(fā)生變化,并證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,若∠BCD=∠ADC=90°,AB=請直接寫出△AGH的周長.
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【題目】閱讀下列材料,并完成相應(yīng)任務(wù):
黃金分割
天文學(xué)家開普勒把黃金分割稱為神圣分割,并指出畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)和黃金分割是幾何中的雙寶,前者好比黃金,后者堪稱珠寶,歷史上最早正式在書中使用“黃金分割”這個名稱的是歐姆,19世紀(jì)以后“黃金分割”的說法逐漸流行起來,黃金分割被廣泛應(yīng)用于建筑等領(lǐng)域.黃金分割指把一條線段分為兩部分,使其中較長部分與線段總長之比等于較短部分與較長部分之比,該比值為.用下面的方法(如圖①)就可以作出已知線段的黃金分割點:
①以線段為邊作正方形,
②取的中點,連接,
③延長到,使,
④以線段為邊作正方形,點就是線段的黃金分割點.
以下是證明點就是線段的黃金分割點的部分過程:
證明:設(shè)正方形的邊長為1,則,
為中點,
,
在中,,
,
,
,
…
任務(wù):
(1)補全題中的證明過程;
(2)如圖②,點為線段的黃金分割點,分別以為邊在線段同側(cè)作正方形和矩形,連接.求證:;
(3)如圖③,在正五邊形中,對角線與分別交于點求證:點是的黃金分割點.
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