Question

（2004•徐州）下列邊長為a的正多邊形與邊長為a的正三角形組合起來，不能鑲嵌成平面的是（ ）
（1）正方形；（2）正五邊形；（3）正六邊形；（4）正八邊形．
A．（1）（2）
B．（2）（4）
C．（1）（3）
D．（1）（4）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)多邊形鑲嵌成平面圖形的條件，因為正三角形的內(nèi)角和為60°，而正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形的內(nèi)角分別為90°、108°、120°、135°，顯然正五邊形與正八邊形與正三角形的組合不能進行平面鑲嵌．
解答：解：根據(jù)平面鑲嵌的條件，用公式分別解出各正多邊形的內(nèi)角分別為90°、108°、120°、135°，
設用m塊正三角形，n塊正方形，則有60m+90n=360，得m=6-n，
當n取2時，m得正整數(shù)解3，故正方形與正三角形能鑲嵌成平面，
同理，可證正六邊形也能與正三角形鑲嵌成平面，
而正五邊形，正8邊形不能與正三角形組合起來鑲嵌成平面．
故選B．
點評：解這類題，除了掌握多邊形鑲嵌成平面圖形的條件，還可列二元一次方程看是否有正整數(shù)解來判斷．
如設用m塊正三角形，n塊正八邊形，則有60m+135n=360，得m=6-n，顯然n取任何正整數(shù)時，m不能得正整數(shù)，這種列方程的求整數(shù)解的解法應掌握．