Question

如圖是二次函數(shù)y=（x+m）²+k的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，-4）．
（1）求出圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使S△PAB=

3

4

S△MAB？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在y軸上存在一點(diǎn)Q，使得△QMB周長(zhǎng)最小，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，然后令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，利用三角形的面積列式求出h，再分點(diǎn)P在x軸下方和上方兩種情況把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，找出點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接BM′與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q，利用待定系數(shù)法求出直線BM′的函數(shù)解析式，再令x=0求解即可．

解答：解：（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，-4），
∴二次函數(shù)為y=（x-1）²-4，
令y=0，則（x-1）²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，
∵S_△PAB=

3

4

S_△MAB，
∴

1

2

AB•h=

3

4

•

1

2

AB•4，
解得h=3，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是-3，
∴（x-1）²-4=-3，
解得x₁=0，x₂=2，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-3）或（2，-3），
點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，
∴（x-1）²-4=3，
解得x₁=

7

+1，x₂=-

7

+1，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

7

+1，3）或（-

7

+1，3），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-3），（2，-3），（

7

+1，3），（-

7

+1，3）；

（3）如圖，取點(diǎn)M（1，-4）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M′（-1，-4），
連接BM′與y軸的交點(diǎn)即為使得△QMB周長(zhǎng)最小的點(diǎn)Q，
設(shè)直線BM′的解析式為y=kx+b，
則

3k+b=0 -k+b=-4

，
解得

k=1 b=-3

，
∴BM′的解析式為y=x-3，
令x=0，則y=-3，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為P（0，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了頂點(diǎn)式解析式，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．