如圖,已知A(-3,0),B(0,-4).點P為雙曲線y=
k
x
(x>0,k>0)
上的任精英家教網(wǎng)意一點,過點P作PC⊥x軸于點C,PO⊥y軸于點D.
(1)當四邊形ABCD為菱形時,求雙曲線的解析式;
(2)若點p為直線y=
3
4
x
與(1)所求的雙曲線的交點,試判定此時四邊形ABCD的形狀,并加以證明.
分析:(1)當四邊形ABCD為菱形時,由菱形的軸對稱性可求C、D兩點坐標,又PC⊥x軸,PD⊥y軸,則P、C兩點橫坐標相等,P、D兩點縱坐標相等,可求P點坐標,確定雙曲線解析式;
(2)聯(lián)立直線與雙曲線解析式,求P點坐標,可判斷△OAD,△OBC為等腰直角三角形,從而確定四邊形ABCD的形狀.
解答:(1)解法一:∵四邊形ABCD為菱形,
∴OA=OC,OB=OD(1分)
可得點p的坐標為P(3,4)(3分)
∴k=12,即雙曲線的解析式為y=
12
x
(x>0,k>0)
(5分)
解法二:
由勾股定理可求得菱形的邊長為5,所以求得點C、點D的坐標C(3,0)、D(0,4),
所以點P坐標為P(3,4),下同解(一);

(2)依題意:聯(lián)立
y=
3
4
x
y=
12
x
,
解得
x=4
y=3
(x>0),
即P(4,3)(7分)
此時,OA=OD=3、OB=OC=4,△OAD,△OBC為等腰直角三角形,
∴AD∥BC,(9分)
又據(jù)勾股定理求得AB=CD=5.
所以四邊形ABCD為等腰梯形(10分)
點評:本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用.關鍵是通過坐標系里圖形的軸對稱性,特殊三角形的性質,求點的坐標,確定雙曲線的解析式.
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3
+1
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A、
9
70
B、
70
9
C、
5
126
D、
126
5

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50
度.

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