如圖① ,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90o,AD⊥BC,垂足為D.
(1)S△ABD = .(直接寫出結(jié)果)
(2)如圖②,將△ABD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′D,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 (),在旋轉(zhuǎn)過程中:
探究一:四邊形APDQ的面積是否隨旋轉(zhuǎn)而變化?說明理由
探究二:當(dāng)的度數(shù)為多少時,四邊形APDQ是正方形?說明理由.
(1)4,(2)①不會;②=45o
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)S△ABD= S△AB C結(jié)合三角形的面積公式進行解答即可;
(2)①四邊形APDQ的面積不會隨旋轉(zhuǎn)而變化,因為無論旋轉(zhuǎn)角為 ()怎樣旋轉(zhuǎn),始終是△BPD≌△AQD,即四邊形APDQ的面積等于S△ABD;
②證得四邊形APDQ為矩形,又因為DP=AP=AB,即可得出結(jié)論.
(1)S△ABD= S△ABC= =4
(2)① 四邊形APDQ的面積不會隨旋轉(zhuǎn)而變化.
理由如下:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o
∠B=∠C=45o
∵AD⊥BC
∴∠BAD=∠DAC=45o
∴∠B="∠DAQ=∠BAD" =45o,BD=AD
又∵∠BDP+∠ADP=90o,∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90o
∴∠BDP="∠ADQ"
∴△BPD≌△AQD
S四邊形APDQ= S△APD+ S△AQD= S△APD+ S△BPD= S△ABD =4
② 當(dāng)=45o時,四邊形APDQ是正方形.
理由如下:
由(1)知△ABD為等腰直角三角形.
當(dāng)=45o時,DP⊥AB,即∠APD=90o
又∵∠A=90o,∠PDQ=90o
∴四邊形APDQ為矩形
又∵DP=AP=AB
∴四邊形APDQ是正方形.
考點:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形的面積公式,正方形的判定和性質(zhì)
點評:本題知識點較多,綜合性強,難度較大,在中考中比較常見,一般以壓軸題形式出現(xiàn).
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