Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=1，E為AB的中點，AC是ED的垂直平分線．
（1）求證：DB=DC；
（2）在圖（2）的線段AB上找出一點P，使PC+PD的值最小，標出點P的位置，保留畫圖痕跡，并求出PB的值．

Answer 1

（1）證明：連接CE，
∵AC為線段ED的垂直平分線，
∴AD=AE，DC=EC，∠EAC=∠DAC=45°，
∴三角形ABC為等腰直角三角形，即AB=BC，
∵E為線段AB的中點，
∴AE=EB，即AD=BE，
又∠DAB=∠EBC=90°，
∴△ADB≌△BEC，
∴EC=BD，
∴BD=DC；

（2）解：延長線段CB，在延長線上截取BC′=BC，連接C′D，與AB交于點P，
∵E為AB中點，∴AE=EB，又AD=AE=1，∴AB=2，
由（1）得到BD=DC，即三角形DBC為等腰三角形，
過點D作DM⊥BC，垂直為M，則BM=CM=AD=1，
∴BC′=BC=2，
∵AD∥BC，
∴∠ADC′=∠C′，∠DAP=∠C′PB，
∴△APD∽△BPC′，
∴=，
設PB=x，則AP=2-x，則=，
解得：x=，則PB=．
分析：（1）連接EC，由AC垂直平分ED，根據(jù)中垂線的性質(zhì)得到AD=AE，DC=EC，所以三角形AED為等腰直角三角形，即∠EAC=∠DAC=45°，進而得到△ABC為等腰直角三角形，所以AB=BC，由E為AB中點得到AE=EB，等量代換得到AD=EB，從而利用“SAS”證明△ADB≌△BEC，得到DB=EC，等量代換得證；
（2）延長線段CB，在延長線上截取BC′=BC，連接C′D，與AB的交點即為所求的點P，然后由（1得到DB=EC，即三角形DBC為等腰三角形，由AD的長求出BC的長，即為C′B的長，再由E為AB中點，AC為ED中垂線，得到AB=2AD=2，由AD∥BC，根據(jù)兩直線平行，得到兩對內(nèi)錯角相等，從而得到△APD∽△BPC′，得到對應邊成比例，設PB為x，得到AP=2-x，代入比例式中即可求出PB的長．
點評：此題綜合考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及相似三角形的判別與性質(zhì)．學生作第一問時注意等量間的代換，第二問的關鍵是利用兩點之間，線段最短和對稱知識找出滿足題意的P點．