Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分別為邊AB、AC的中點，連結(jié)DE，點P從點A出發(fā)，沿折線AE-ED-DB運動，到點B停止．點P在折線AE-ED上以每秒1個單位的速度運動，在DB上以每秒個單位的速度運動. 過點P作PQ⊥BC于點Q， 以PQ為邊在PQ右側(cè)作正方形PQMN， 使點M落在線段BC上．設(shè)點P的運動時間為秒（）.

（1）在整個運動過程中，求正方形PQMN的頂點N落在AB邊上時對應(yīng)的的值；

（2）連結(jié)BE，設(shè)正方形PQMN與△BED重疊部分圖形的面積為S，請直接寫出S與之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量的取值范圍；

（3）當正方形PQMN頂點P運動到與點E重合時，將正方形PQMN繞點Q逆時針旋轉(zhuǎn)60°得正方形

P₁ Q M₁ N₁，問在直線DE與直線AC上是否存在點G和點H，使△GHP₁是等腰直角三角形? 若

存在，請求出EG的值；若不存在，請說明理由．

			備用圖

 

Answer 1

（1）當點P在AE上時，  由△APN∽△ACB得

        ∴        ∴t=2s        ......2分

當點P在ED上時，PN=3 ，∴AE+EP=3+6-3=6   ∴t=6s     ......3分

 （2）.................8分

（3）在直線DE與直線AC上存在點G和點H，使△GHP₁是等腰直角三角形. 理由如下：

過P₁作P₁S⊥AC于S, P₁R⊥DE于R,

∵∠P₁QS=60°，P₁Q=3，

∴P₁S=RE=, QS

∴P₁R=SE=.

①    

圖1

當∠P₁GH=90°時,

可證△P₁RG≌△GEH，則EG= P₁R=.......9分

②     當∠P₁HG=90°時, （如圖3、4）

圖2

可證△P₁SH≌△HEG，

∴EH=P₁S=，EG=SH,

∴EG=EH+SE=+；

或EG=EH-SE=-；  ..........11分

	圖3

 

③當∠GP₁H=90°時,

∵P₁S≠ P₁R， ∴△P₁SH與△P₁RG不可能全等

∴P₁H≠ P₁G，∴不成立.      .......12分

圖4

綜上，EG=,+,-.