Question

（2013•甘井子區(qū)一模）如圖，頂點(diǎn)為D的拋物線(xiàn)y=a（x-5）²-6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（

13

2

，-5），直線(xiàn)CD交y軸于點(diǎn)C（0，4），交x軸于點(diǎn)B．
（1）求拋物線(xiàn)和直線(xiàn)CD解析式；
（2）在直線(xiàn)CD右側(cè)的拋物線(xiàn)上取點(diǎn)E，使得∠EDB=∠CBO，則求點(diǎn)E坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P為射線(xiàn)CD上一點(diǎn)，在（2）條件下，作射線(xiàn)PE，以P為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)PE，使得旋轉(zhuǎn)后的射線(xiàn)交x坐標(biāo)軸于點(diǎn)R，且∠EPR=∠CBO．是否存在點(diǎn)R，使得PE=PR？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)R坐標(biāo)；不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A（

13

2

，-5）代入y=a（x-5）²-6，求出a=

4

9

，即可得到拋物線(xiàn)的解析式；設(shè)直線(xiàn)CD解析式為y=kx+b，將D（5，-6），C（0，4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)CD的解析式；
（2）延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)M，作DH⊥x軸于點(diǎn)H．先證明∠EDB=∠MBD，得出MB=MD，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，0），由于B（2，0），D（5，-6），所以t-2=

(t-5)2+36

，解方程求出t=

19

2

，得到M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

19

2

，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出DM的解析式為y=

4

3

x-

38

3

，由于點(diǎn)E為直線(xiàn)DM和拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，解方程組

y= 4 3 x- 38 3 y= 4 9 x2- 40 9 x+ 46 9

，即可求出點(diǎn)E坐標(biāo)；
（3）設(shè)R（m，0）．先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得DE=5，利用AAS證明△BRP≌△DPE，得出BP=DE=5，BR=DP，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得BD=3

5

，則BR=PD=3

5

-5，由BR=DP得出方程m-2=3

5

-5，解方程求出m的值，得到點(diǎn)R坐標(biāo)，由此得出結(jié)論：在（2）條件下，存在點(diǎn)R，能夠使得PE=PR．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（

13

2

，-5）代入y=a（x-5）²-6，
得-5=a（

13

2

-5）²-6，解得a=

4

9

，
所以?huà)佄锞�(xiàn)解析式為：y=

4

9

（x-5）²-6，即y=

4

9

x²-

40

9

x+

46

9

；
設(shè)直線(xiàn)CD解析式為y=kx+b，
∵D（5，-6），C（0，4），
∴

5k+b=-6 b=4

，解得

k=-2 b=4

，
∴直線(xiàn)CD解析式為y=-2x+4；

（2）延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)M，作DH⊥x軸于點(diǎn)H．
∵∠EDB=∠CBO，∠CBO=∠MBD，
∴∠EDB=∠MBD，
∴MB=MD．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，0），
y=-2x+4，當(dāng)y=0時(shí)，x=2，
∴B（2，0），
∴MB=t-2．
在Rt△DHM中，MD=

(t-5)2+36

，
∴t-2=

(t-5)2+36

，
解得：t=

19

2

，
∴M（

19

2

，0）．
設(shè)DM解析式為：y=mx+n，
則

5m+n=-6 19 2 m+n=0

，解得

m= 4 3 n=- 38 3

，
∴y=

4

3

x-

38

3

．
點(diǎn)E為直線(xiàn)DM和拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，
由

y= 4 3 x- 38 3 y= 4 9 x2- 40 9 x+ 46 9

，解得：

x=5 y=-6

或

x=8 y=-2

，
∴E（8，-2）；

（3）存在，點(diǎn)R坐標(biāo)為（3

5

-3，0）．理由如下：
設(shè)R（m，0）．
∵D（5，-6），E（8，-2），
∴DE=

(8-5)2+(-2+6)2

=5．
∵∠EPR=∠CBO=∠MBD，
又∠EPR+∠EPD=∠MBD+∠BRP，
∴∠BRP=∠EPD，
又∠MBD=∠BDE，PR=PE，
∴△BRP≌△DPE，
∴BP=DE=5，BR=DP．
∵B（2，0），D（5，-6），
∴BD=

(5-2)2+(-6-0)2

=3

5

，
∴PD=BD-BP=3

5

-5，
∴BR=PD=3

5

-5，
∴m-2=3

5

-5，
∴m=3

5

-3，
∴點(diǎn)R坐標(biāo)為（3

5

-3，0）．          

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定與性質(zhì)，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．