如圖,在△ABC中,AB=AC,在AB上取點(diǎn)D,又在AC延長線上取點(diǎn)E,使CE=BD,連結(jié)DE,交BC于點(diǎn)G.求證:DG=GE
分析 欲證明DG=GE,DG所在的△BDG與GE所在的△CCE根本無法全等,此時(shí)應(yīng)考慮與△BDG或△CEG全等的三角形,可以引輔助線DF∥CE或EM∠AB構(gòu)成全等三角形. 證法一 如答圖(1)所示,過點(diǎn)D作DF∥AC,交BC于點(diǎn)F.∴∠DFB=∠ACB.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∴∠B=∠DFB.∴DF=DB.∵BD=CE,∴DF=CE.∵DF∥CE, ∴∠DFG=∠ECG.在△DFG與△ECG中, ∵∠DGF=∠EGC,∠DFG=∠ECG,DF=CE, ∴△DFG≌△ECG(AAS).∴DG:EG. 證法二 如答圖(2),過E作EM∥AB交BC的延長線于肘∴∠M=∠B. ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.又∵∠MCE=∠ACB, ∴∠M=∠MCE.∴EM=EC. ∵EC=BD,∴EM=BD.又∵∠BGD=/MGE,∴△BGD=≌△MGE.∴DG=EG. 證法三 如答圖(3),過D、E分別作DK⊥BC于K,EH⊥BC于H.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB. 又∵∠ACB=∠HCE,∴∠B=∠HCE∵BD=EC,∴Rt△BDK≌Rt△CEH∴DK=EH.又∵∠DGK=∠EGH,∴Rt△DKG≌Rt△EHG.∴DG=EG. 點(diǎn)撥 當(dāng)有等腰三角形時(shí),常過一點(diǎn)作腰的平行線,從而得到一個(gè)新的等腰三角形,或者得到一部分角相等,這樣可以為證題創(chuàng)造更多有利條件. |
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