Question

4．如圖，A，B兩地之間有條河，原來(lái)從A地到B地需要經(jīng)過(guò)橋DC，沿折線(xiàn)A→D→C→B到達(dá)，現(xiàn)在新建了橋EF，可直接沿直線(xiàn)AB從A地到達(dá)B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，橋DC和AB平行，橋DC與橋EF的長(zhǎng)相等．
（1）求點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離；
（2）現(xiàn)在從A地到B地可比原來(lái)少走多少路程？
（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根據(jù)平行四邊形的判定得出DCBG為平行四邊形，在Rt△DGH中，根據(jù)DH=DG•sin37，即可求出點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離；
（2）根據(jù)（1）先求出GH、AD和AH的長(zhǎng)，再根據(jù)兩條路線(xiàn)路程之差為AD+DG-AG，代值計(jì)算即可得出答案．

解答 解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，
∵DC∥AB，
∴四邊形DCBG為平行四邊形．
∴DC=GB，GD=BC=11．
在Rt△DGH中，
DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，
∴點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離是6.60km；

（2）根據(jù)（1）得：
GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，
在Rt△ADH中，
AD=$\sqrt{2}$DH≈1.41×6.60≈9.31．
AH=DH≈6.60，
∵兩條路線(xiàn)路程之差為AD+DG-AG，
∴AD+DG-AG=（9.31+11）-（6.60+8.80）≈4.9（km）．
即現(xiàn)在從A地到B地可比原來(lái)少走約4.9km．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，將梯形中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題是解決梯形問(wèn)題的常用方法，常作的輔助線(xiàn)有平移腰、平移對(duì)角線(xiàn)、作高等．