Question

如圖，已知：在△ABC中，AB=BC=CA=2，D為BC延長線上一點，CD=1，P為AB上一動點（不運動至點A，B），以PC為直徑作⊙O交BC于M，連接PD，交⊙O于H，交AC于E，連接PM．
（1）設AP=t，S_△PCD=S，求S關于t的函數(shù)解析式和t的取值范圍；
（2）過D作⊙O的切線DT，T為切點，試用含t的代數(shù)式表示DT的長；
（3）當點P運動到AB中點時，求證：

S△PCD

S△PCE

=

CD

CE

．

Answer 1

分析：（1）表示面積關鍵是確定△PCD的底CD，高PM，圍繞求PM，解直角△BPM，其中PB=2-t，∠B=60°；
（2）運用切割線定理得DT²=DC•DM，關鍵是會表示DM，由（1）可得到啟發(fā)；
（3）△PCD的底CD，高PM，可以思考△PCE的底CE，構造CE邊上的高PN即可．

解答：（1）解：∵PC是直徑，
∴PM⊥BC，
在Rt△PBM中，PB=2-t，∠B=60°，
∴PM=PB•sin60°=

3 (2-t)

2

，
S=

1

2

×CD×PM=

3 (2-t)

4

（0＜t＜2）．

（2）解：由（1）可知，BM=

1

2

（2-t），MC=2-BM=

1

2

（2+t），MD=MC+1=2+

1

2

t；
由切割線定理得DT²=DC•DM=2+

1

2

t，
∴DT=

2+ 1 2 t

．

（3）證明：作PN⊥AC于N；
∵點P為AB中點，
∴CP為等邊△ABC的中線，
∴PC平分∠ACB，
∵PM=PN，
∴S_△PCD=

1

2

PM•CD，S_△PCE=

1

2

PN•CE，
∴

S△PCD

S△PCE

=

CD

CE

．

點評：本題考查了三角形面積的表示方法，等邊三角形的性質，角平分線性質，切割線定理，解直角三角形等知識的運用．