Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A'EF，連接A'C，A'D，則當(dāng)△A'DC是以A'D為腰的等腰三角形時(shí)，FD的長(zhǎng)是_____．

Answer 1

【答案】4﹣2或3

【解析】

存在兩種情況：當(dāng)A′D=DC，連接ED，勾股定理求得ED的長(zhǎng)，可判斷E，A′，D三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；當(dāng)A′D=A′C，證明AEA′F是正方形，于是得到結(jié)論．

解：①當(dāng)A′D=DC時(shí)，如圖1，連接ED，

∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB=4，BC=4，四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=90°，
∴DE==6，
∵將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A'EF，
∴A′E=AE=2，
∵A′D=DC=AB=4，
∴DE=A′E+A′D=6，
∴點(diǎn)E，A′，D三點(diǎn)共線，
∵∠A=90°，
∴∠FA′E=∠FA′D=90°，

設(shè)AF=x，則A′F=x，FD=4-x，
在Rt△FA′D中，42+x2=（4-x）2，
解得：x=，
∴FD=3；
②當(dāng)A′D=A′C時(shí)，如圖2，
∵A′D=A′C，
∴點(diǎn)A′在線段CD的垂直平分線上，
∴點(diǎn)A′在線段AB的垂直平分線上，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴EA′是AB的垂直平分線，
∴∠AEA′=90°，
∵將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A'EF，
∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，
∴四邊形AEA′F是正方形，
∴AF=AE=2，
∴DF=4-2，
故答案為：4-2或3．