Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，連接EF交AP于G．給出四個結論：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；④∠AEP=∠AGF．其中正確的結論有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：根據等腰直角三角形的性質得：AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可證∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即證得△APE與△CPF全等．根據全等三角形性質判斷結論是否正確．
解答：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，
∴AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C．
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA．
∴△APE≌△CPF（ASA）．
∴①AE=CF；③EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位線，
∴EF≠AP，故②錯誤；
④∵∠AGF=∠EGP=180°-∠APE-∠PEF=180°-∠APE-45°，
∠AEP=180°-∠APE-∠EAP=180°-∠APE-45°，
∴∠AEP=∠AGF．
故正確的有①、③、④，共三個．
因此選C．
點評：此題考查全等三角形的判定和性質，綜合性較強．