Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A（﹣2，0）、B（﹣3，3），頂點為C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點P是第一象限內(nèi)的拋物線上一動點，過點P作PM⊥x軸于點M，則是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2+2x；(2)見解析.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法直接求出拋物線的解析式；（2）分兩種情況討論，①若△AMP∽△BOC，②若△PMA∽△BOC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等可以求出P點坐標(biāo).

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），且過A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得

，

解得：．

故拋物線的解析式為：y=x2+2x；

（2）存在，

如圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根據(jù)勾股定理得：

BO2=18，CO2=2，BC2=20，

∴BO2+CO2=BC2．

∴△BOC是直角三角形．

假設(shè)存在點P，使以P，M，A為頂點的 三角形與△BOC相似，

設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，

①若△AMP∽△BOC，則=，

即 x+2=3（x2+2x）

得：x1=，x2=﹣2（舍去）．

當(dāng)x=時，y=，即P（，）．

②若△PMA∽△BOC，則=，

即：x2+2x=3（x+2）

得：x1=3，x2=﹣2（舍去）

當(dāng)x=3時，y=15，即P（3，15）．

故符合條件的點P有兩個，分別是P（，）和（3，15）．