Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合）．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF

（1）如圖1，當點D在線段BC上時．求證：CF+CD=BC；
（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系；
（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側，其他條件不變；求CF，BC，CD三條線段之間的關系．

Answer 1

分析：（1）由等腰直角三角形和正方形的性質可以得出△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，就可以得出結論；
（2）如圖2，通過證明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，就可以得出CF=BC+CD；
（3）如圖3，通過證明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，就可以得出CD=BC+CF．

解答：（1）證明：如圖1，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC．
∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，
∴∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC-∠DAC=∠FAD-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF．
在△ABD和△ACF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF．
∵BC=BD+CD，
∴CF+CD=BC；

（2）CF=BC+CD
理由：解：如圖2，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC．
∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，
∴∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC+∠DAC=∠FAD+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF．
在△ABD和△ACF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF．
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；

（3）CD=BC+CF
解：如圖3，：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC．
∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，
∴∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC-∠BAF=∠FAD-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF．
在△ABD和△ACF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF．
∵DC=BD+BC，
∴CD=CF+BC．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．