Question

某校學(xué)習(xí)小組在開展研究性學(xué)習(xí)中，對同學(xué)們常用的兩塊直角三角板之間的關(guān)系進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：“如果一個三角形中∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，當(dāng)∠A=2∠B時，有a²-b²=bc”．
（1）請分別在圖1和圖2中證明上述結(jié)論成立；
（2）如圖3，△ABC是任意三角形時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用，∠C=90°，B=30°求得a、c，從而利用已知條件推出等式成立．
（2）在圖3中，作∠CAB的平分線AD交BC于D，利用△ACD∽△BCA由等比性質(zhì)得．

解答：解：（1）圖1中，∠C=90°，B=30°，
∴a=

3

b，c=2b．
∴a²-b²=(

3

b)2-b²=2b²．而bc=b•（2b）=2b²，
∴a²-b²=bc成立．
圖2中，∠A=90°，∠B=45°，
∴a²-b²=c²，b=c．
∴bc=c²．
∴a²-b²=bc也成立；

（2）在圖3中，作∠CAB的平分線AD交BC于D．
∵∠A=2∠B，
∴∠CAD=∠DAB=∠B，得AD=BD，
∴△ACD∽△BCA，
故

CD

AC

=

AC

BC

=

AD

AB

，
由等比性質(zhì)，得

CD+AD

AC+AB

=

AC

BC

，
∴

a

b+c

=

b

a

，
即a²-b²=bc．

點評：此題考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理這一知識點的理解和掌握．