Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，點A在第二象限且縱坐標為1，點B在x軸的負半軸上，AB=AO，∠ABO=30°，直線MN經(jīng)過原點O，點A關于直線MN的對稱點A₁在x軸的正半軸上，點B關于直線MN的對稱點為B₁．
（1）求∠AOM的度數(shù)．
（2）已知30°，60°，90°的三角形三邊比為l：$\sqrt{3}$：2，求線段AB₁的長和B₁的縱坐標．

Answer 1

分析 （1）由點A與點A₁關于直線MN對稱，可得出∠AOM=∠A₁OM，再由等腰三角形的性質可得出∠AOB=30°，通過角的計算即可得出結論；
（2）過點A作AC⊥x軸于點C，過點B₁作B₁D⊥x軸于點D，通過解直角三角形以及等腰三角形的性質可得出點A、B點的坐標，再根據(jù)對稱的性質即可得出點A₁的坐標以及AB₁=A₁B，在Rt△OB₁D中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得出B₁D的長度，此題得解．

解答 解：（1）∵點A與點A₁關于直線MN對稱，
∴∠AOM=∠A₁OM，
∵AB=AO，∠ABO=30°，
∴∠AOB=30°，
∵∠AOB+∠AOM+∠A₁OM=180°，
∴∠AOM=75°．
（2）過點A作AC⊥x軸于點C，過點B₁作B₁D⊥x軸于點D，如圖所示．
∵∠AOC=30°，∠ACO=90°，AC=1，
∴AO=2AC=2，OC=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$，
∵AB=AO，
∴BO=2OC=2$\sqrt{3}$，
∴點A（-$\sqrt{3}$，1），點B（-2$\sqrt{3}$，0）．
∵點A與點A₁關于直線MN對稱，
∴OA₁=OA=2，
∴點A₁（2，0），
∴A₁B=2-（-2$\sqrt{3}$）=2+2$\sqrt{3}$，
∵點A關于直線MN的對稱點A₁，點B關于直線MN的對稱點為B₁，
∴AB₁=A₁B=2+2$\sqrt{3}$，OB₁=OB=2$\sqrt{3}$．
在Rt△OB₁D中，∠B₁OD=∠AOB=30°，
∴B₁D=$\frac{1}{2}$OB₁=$\sqrt{3}$．
故線段AB₁的長為2+2$\sqrt{3}$，B₁的縱坐標為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了對稱的性質、等腰三角形的性質、特殊角的三角函數(shù)值以及角的計算，解題的關鍵是：（1）找出∠AOM=∠A₁OM；（2）求出線段A₁B和B₁D的長度．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)軸對稱的性質找出相等的邊角關系是關鍵．