Question

如圖，P為△ABC內(nèi)一點，∠BAC=30°，∠ACB=90°，∠BPC=120°．若BP=，則△PAB的面積為________．

Answer 1

分析：如圖，作△BPC的外接圓⊙O，交AC的延長線于D，連接BD、PD．利用切線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)對角互補得到∠BDA=180°-∠BPC=60°，所以∠ABD=180°-∠BAC-∠BDA=90°，即AB是⊙O的切線．設(shè)∠ABP=∠BDP=α．通過解直角△ABD、△BPD求得AB、AP的長度，然后由三角形的面積公式S=absinC進行計算即可．
解答：解：如圖，作△BPC的外接圓⊙O，交AC的延長線于D，連接BD、PD．
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∴BD是⊙O的直徑．
∵四邊形BDCP是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠BDA=180°-∠BPC=60°，
∴∠ABD=180°-∠BAC-∠BDA=180°-30°-60°=90°，則AB是⊙O的切線．
設(shè)∠ABP=∠BDP=α．
在直角△ABD中，AB=BD•tan∠BDA=BD，
在直角△BPD中，BP=BD•sin∠BDP=BDsinα=，
則△PAB的面積是：AB•BPsin∠ABP=×BD×sinα=．
點評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角形以及三角形的面積計算．此題的難點是作出△BPC的外接圓⊙O．