(2012•江干區(qū)一模)如圖,⊙O既是正△ABC的外接圓,又是正△DEF的內(nèi)切圓,則內(nèi)外兩個正三角形的相似比是
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2
1
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分析:過O作OM⊥AC于M,ON⊥BF于N,連接OC、OF,設OC=ON=R,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出∠MCO=∠OFN=30°,求出OM、OF的值,根據(jù)勾股定理求出CM、FN,根據(jù)垂徑定理求出AC、EF值,即可求出答案.
解答:解:
過O作OM⊥AC于M,ON⊥BF于N,連接OC、OF,
設OC=ON=R,
∵⊙O既是正△ABC的外接圓,又是正△DEF的內(nèi)切圓,
∴∠MCO=∠OFN=30°,
∵∠CMO=∠FNO=90°,
∴OM=
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2
R,OF=2R,
由勾股定理得:CM=
(R)2-(
1
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R)
2
=
3
2
R,
由垂徑定理得:AC=2CM=
3
R,
同理EF=2NF=2
3
R,
即內(nèi)外兩個正三角形的相似比是AC:EF=1:2=
1
2
,
故答案為:
1
2
點評:本題考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,垂徑定理,等邊三角形性質(zhì)等知識點的應用,關鍵是構造直角三角形,主要考查學生對于有關等邊三角形的內(nèi)切圓與外接圓的計算的掌握,題目具有一定的代表性,是一道比較好的題目.
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