Question

一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31 km．現(xiàn)要求在一邊長為30 km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市．問：

(1)能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預(yù)設(shè)的要求？

(2)至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達到預(yù)設(shè)的要求？

答題要求：請在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計算、推理和文字來說明你的理由．(圖給出了幾個邊長為30 km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時選用)

Answer 1

答案：
解析：

分析：本題的關(guān)鍵是以發(fā)射點為中心的幾個圓的面積能夠覆蓋正方形，設(shè)計方法較多． 　　解：(1)將題圖中的正方形等分成如下圖的4個小正方形，將這4個轉(zhuǎn)發(fā)裝置安裝在這4個小正方形的對角線的交點處，此時，每個小正方形的對角線長為×30＝15(km)＜31 km，每個轉(zhuǎn)發(fā)裝置都能完全覆蓋一個小正方形區(qū)域，故安裝4個這種裝置可以達到預(yù)設(shè)的要求．(圖案設(shè)計不唯一) 　　(2)方法一：將原正方形分割成如圖中的3個矩形，使得BE＝DO＝CO，將每個裝置安裝在這些矩形的對角線交點處 　　設(shè)AE＝x km，則ED＝(30－x)km，DH＝15 km． 　　由BE＝DO，得x2＋302＝152＋(30－x)2 　　解得x＝(km) 　　所以BE＝≈30.2(km)＜31 km， 　　即如此安裝3個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，也能達到預(yù)設(shè)要求． 　　方法二：將原正方形分割成如圖中的3個矩形，使得BE＝31 km，點H是CD的中點，將每個裝置安裝在這些矩形的對角線的交點處，則AE＝＝(km)，DE＝(30－)km，DO＝≈26.8(km)＜31 km，即如此安裝三個這個轉(zhuǎn)發(fā)裝置，能達到預(yù)設(shè)要求． 　　方法三：要用兩個圓覆蓋一個正方形，則一個圓至少要經(jīng)過正方形相鄰兩個頂點．如圖，用一個直徑為31 km的⊙O去覆蓋邊長為30km的正方形ABCD，設(shè)⊙O經(jīng)過點A、B且與AD、BC分別交于點E、F，連結(jié)BE，則AE＝＝(km)＜15 km＝AD，這說明用兩個直徑都為31 km的圓不能完全覆蓋正方形ABCD． 　　所以，至少要安裝3個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，才能達到預(yù)設(shè)要求．