Question

已知：拋物線y=ax²+4ax+t與x軸交于點A、B兩點，A（-1，0）．
（1）求拋物線的對稱軸及點B的坐標；
（2）設C是拋物線與y軸的交點，△ABC的面積為3，求此拋物線的表達式；
（3）若D是第二象限內(nèi)到x軸、y軸距離的比為5：2的點，且點D在（2）中的拋物線上，在拋物線的對稱軸上是否存在點E，使DE與EA的差最大？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵x=-=-2，
∴拋物線的對稱軸是直線x=-2，
設點B的坐標為（x，0），
則=-2，解得x=-3，
∴B的坐標（-3，0）；

（2）∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵S_△ABC=AB•OC=3，
∴×2•OC=3，
∴OC=3，
∴點C的坐標為（0，3）或（0，-3）．
①如果點C的坐標為（0，3）時，
將C（0，3），A（-1，0）代入y=ax²+4ax+t，
得，解得，
∴此拋物線的表達式為y=x²+4x+3；
②如果點C的坐標為（0，-3）時，
將C（0，-3），A（-1，0）代入y=ax²+4ax+t，
得，解得，
∴此拋物線的表達式為y=-x²-4x-3；

（3）設D點坐標為（-2t，5t），則t＞0．
①如果（2）中的拋物線為y=x²+4x+3時，
將D（-2t，5t）代入，得5t=4t²-8t+3，
整理，得4t²-13t+3=0，
解得t₁=3，t₂=，
∴D點坐標為（-6，15）或（-，）．
如圖，當D點坐標為（-6，15）時，連接DB交拋物線y=x²+4x+3的對稱軸于點E，連接AE，則DE-EA=DE-EB=BD最大．
設直線DB的解析式為y=mx+n，
將D（-6，15），B（-3，0）代入，
得，解得，
∴y=-5x-15，
當x=-2時，y=-5，
∴點E的坐標為（-2，-5）；
當D點坐標為（-，）時，連接DA交拋物線y=x²+4x+3的對稱軸于點E，則DE-EA=AD最大．
同理，運用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式為y=x+，
當x=-2時，y=-，
∴點E的坐標為（-2，-）；
②如果（2）中的拋物線為y=-x²-4x-3時，
將D（-2t，5t）代入，得5t=-4t²+8t-3，
整理，得4t²-3t+3=0，
∵△=9-4×4×3=-39＜0，
∴t無實數(shù)根，即點D不存在．
綜上可知，所求點E的坐標為（-2，-5）或（-2，-）．
分析：（1）拋物線的對稱軸為x=-，由此可求出拋物線的對稱軸方程，由于A、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因此可根據(jù)A點的坐標求出B點的坐標；
（2）先由AB=2，S_△ABC=AB•OC=3，得出OC=3，則點C的坐標為（0，3）或（0，-3），再分兩種情況進行討論：①點C的坐標為（0，3）；②點C的坐標為（0，-3）．都可以將C，A兩點的坐標代入y=ax²+4ax+t，運用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的表達式；
（3）先由D是第二象限內(nèi)到x軸、y軸距離的比為5：2的點，可設D點坐標為（-2t，5t），則t＞0，根據(jù)點D在（2）中的拋物線上，分兩種情況進行討論：①（2）中的拋物線為y=x²+4x+3，先將D（-2t，5t）代入，得5t=4t²-8t+3，解方程求出t₁=3，t₂=，則D點坐標為（-6，15）或（-，）．再分兩種情況，當D點坐標為（-6，15）時，由于A、D在對稱軸兩側(cè)，連接D與A的對稱點B，交拋物線y=x²+4x+3的對稱軸于點E，連接AE，則此時DE-EA最大．運用待定系數(shù)法求出直線DB的解析式，再將x=-2代入，求出y的值，得到點E的坐標；當D點坐標為（-，）時，由于A、D在對稱軸同側(cè)，直接連接DA交拋物線y=x²+4x+3的對稱軸于點E，則此時DE-EA最大．同上，可求出點E的坐標；②（2）中的拋物線為y=-x²-4x-3時，將D（-2t，5t）代入，整理后方程為4t²-3t+3=0，由于△＜0，得出點D不存在．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，平面直角坐標系中點的坐標特征，軸對稱的性質(zhì)，直線較強，有一定難度．由于數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．