Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD，CD分別是△ABC兩個外角的平分線。

（1）求證：AC=AD；

（2）若∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據三角形外角的性質得到∠CAF=∠B+∠ACB，由AB=AC可得∠B=∠ACB，即可得到∠CAF=2∠B，根據角平分線的性質可得∠CAF=2∠FAD，即可得到∠B=∠FAD，則可得AD//BC，根據平行線的性質可得∠D=∠DCE，再根據角平分線的性質可得∠DCE=∠ACD，即可證得結論；

（2）由△ABC中，AB=AC，∠B=60°可證得△ABC是等邊三角形，即得AB=BC=AC，由AD=AC可得AD=BC，再結合AD//BC可證得四邊形ABCD是平行四邊形，再有AB=BC即可證得結論.

【解析】

試題分析：（1）∵∠CAF是△ABC的外角

∴∠CAF=∠B+∠ACB

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠CAF=2∠B 

∵AD是△ABC兩個外角的平分線

∴∠CAF=2∠FAD 

∴∠B=∠FAD  

∴AD//BC  

∴∠D=∠DCE

∵CD是△ABC外角的平分線

∴∠DCE=∠ACD 

∴AC=AD；

（2）∵△ABC中，AB=AC，∠B=60° 

∴△ABC是等邊三角形

∴AB=BC=AC  

∵AD=AC   

∴AD=BC 

又∵AD//BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形

∵AB=BC 

∴四邊形ABCD是菱形.

考點：三角形的外角的性質，角平分線的性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定

點評：此類問題是初中數學的重點，是中考常見題，一般難度不大，需熟練掌握.