Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D．求作∠ABC的平分線(xiàn)，分別交AD，AC于P，Q兩點(diǎn)，并證明AP=AQ．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

Answer 1

【答案】作圖見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)作出BQ即可．先根據(jù)垂直的定義得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°．
再根據(jù)余角的定義得出∠AQP+∠ABQ=90°，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，據(jù)此可得出結(jié)論．

試題解析：BQ就是所求的∠ABC的平分線(xiàn)，P、Q就是所求作的點(diǎn)．

證明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BPD+∠PBD=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠AQP+∠ABQ=90°．
∵∠ABQ=∠PBD，
∴∠BPD=∠AQP．
∵∠BPD=∠APQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ．