Question

【題目】如圖，已知頂點為M（，）的拋物線過點D（3，2），交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P在直線AD上方時，求△PAD面積的最大值，并求出此時點P的坐標；

（3）過點P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點Q的對應(yīng)點為Q'．是否存在點P，使Q'恰好落在x軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為4，點P（1，3）；（3）存在，點P的坐標為（，）．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求解即可；

（2）由△PAD面積S＝S△PHA+S△PHD，即可求解；

（3）結(jié)合圖形可判斷出點P在直線CD下方，設(shè)點P的坐標為（a，），當P點在y軸右側(cè)時，運用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進行求解即可．

解：（1）設(shè)拋物線的表達式為：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣）2+，

將點D的坐標代入上式得：2＝a（3﹣）2+，

解得：a＝﹣，

∴拋物線的表達式為：；

（2）當x＝0時，y＝﹣x2+x+2＝2，

即點C坐標為（0，2），

同理，令y＝0，則x＝4或﹣1，故點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（4，0），

過點P作y軸的平行線交AD于點H，

由點A、D的坐標得，直線AD的表達式為：y＝（x+1），

設(shè)點P（x，﹣x2+x+2），則點H（x，x+），

則△PAD面積為：

S＝S△PHA+S△PHD＝×PH×（xD﹣xA）＝×4×（﹣x2+x+2﹣x）＝﹣x2+2x+3，

∵﹣1＜0，故S有最大值，

當x＝1時，S有最大值，則點P（1，3）；

（3）存在滿足條件的點P，顯然點P在直線CD下方，設(shè)直線PQ交x軸于F，點P的坐標為（a，﹣a2+a+2），

當P點在y軸右側(cè)時（如圖2），CQ＝a，

PQ＝2﹣（﹣a2+a+2）＝a2﹣a，

又∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，

∴∠FQ′P＝∠OCQ′，

∴△COQ′∽△Q′FP，

，即，

∴Q′F＝a﹣3，

∴OQ′＝OF﹣Q′F＝a﹣（a﹣3）＝3，CQ＝CQ′＝，

此時a＝，點P的坐標為（，）．