Question

【題目】如圖1，拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．

（1）點(diǎn)是線段上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，點(diǎn)、在軸上（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），，點(diǎn)在直線上，求的最小值．

（2）點(diǎn)為中點(diǎn)，軸于，連接，將沿翻折得△，如圖所示，再將△沿直線平移，記平移中的△為△，在平移過程中，直線與軸交于點(diǎn)，則是否存在這樣的點(diǎn)，使得△為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）的最小值為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）由拋物線解析式可求A(6，0)，C(0，)，對(duì)稱軸x=2，過P點(diǎn)作PT′∥QT，由PQ∥AC可知，四邊形QTT′P是平行四邊形，QT=PT’，因?yàn)?/span>HT為定值，所以PT′最大時(shí)，△AQH面積最大，由此構(gòu)建二次函數(shù)，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，過點(diǎn)G作GE⊥x軸于E，作x軸關(guān)于直線AC的對(duì)稱直線l，E的對(duì)稱點(diǎn)為E′，將PM沿y軸向下平移個(gè)單位至P′N，作點(diǎn)P′關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P″，過P″作P″S⊥l于S，則有PM+NG+GA=P″N+NG+GE′≥P″S，求出P″S即可；
（2）先求得點(diǎn)E，F，F′，H′，R的坐標(biāo)，根據(jù)△RF'H'為等腰三角形，分三種情況分別求解即可．

（1）如圖1，拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），

；；，，

直線的解析式為：，

，

過點(diǎn)作，交于，

設(shè)，，

則

，

四邊形是平行四邊形，

，

當(dāng)面積最大時(shí)，最大，即最大，

即時(shí)，面積最大，

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．

過點(diǎn)作軸于，作軸關(guān)于直線的對(duì)稱直線，的對(duì)稱點(diǎn)為，將沿軸向下平移個(gè)單位至，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，過作于，則有

，與關(guān)于軸對(duì)稱

，

，直線與軸關(guān)于直線對(duì)稱

，

設(shè)直線的解析式為，則

，將代入得：，解得：，

直線的解析式為，

過點(diǎn)作軸交于，則，，

，

軸

，

的最小值；

（2）

拋物線對(duì)稱軸為直線，

，

由（1）知：；；，，

點(diǎn)為中點(diǎn)，軸于，

，

，

△沿直線平移，各個(gè)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)變化為，設(shè)△沿直線平移后的△各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

，

則直線解析式為，令，則

，

，

，

，

△為等腰三角形，

或或，

①當(dāng)時(shí)，則，解得：，

此時(shí)，或

②當(dāng)時(shí)，則，解得：或，

不符合題意，與①重復(fù)

③當(dāng)時(shí)，，解得：，與①重復(fù)

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．