Question

已知：如圖，矩形ABCD，AB = 4，∠ACB = 30°．點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線CA—AD以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD交BC于點(diǎn)F，同時(shí)過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC交直線BC于點(diǎn)G，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G重合時(shí)，求此時(shí)t的值；

（2）直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量取值范圍；

（3）當(dāng)t = 4時(shí)，將△EFG繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（），∠GEF的兩邊分別交矩形的邊于點(diǎn)M，點(diǎn)N．當(dāng)△MEN為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)△MEN的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）6或；（2）；

（3）或．

【解析】

試題分析：（1）分當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G第一次重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G第二次重合時(shí)，兩種情況結(jié)合圖形特征求解；

（2）分，，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與三角形、梯形的面積公式求解即可；

（3）分①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時(shí)，②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為75°時(shí)，這兩種情況，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理及三角形的面積公式求解即可.

（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G第一次重合時(shí)，t=6

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G第二次重合時(shí)，t=；

（2）由題意得；

（3）①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時(shí)，

∴；

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為75°時(shí)，

作EH⊥AB于H，MG⊥AE于G

，AH=2

設(shè)

則，又∵ GE=EH=

∴

∴

解得：

∴

綜上所述，△MNE的面積為或．

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型．